論文の概要: Permanents of matrix ensembles: computation, distribution, and geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.10141v1
• Date: Sun, 08 Feb 2026 22:31:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-12 21:44:01.169747
• Title: Permanents of matrix ensembles: computation, distribution, and geometry
• Title（参考訳）: 行列アンサンブルの永続性:計算,分布,幾何学
• Authors: Igor Rivin,
• Abstract要約: 我々はGPUを用いて$mathbbC,$mathbbR,$$mathbbF_p$,$mathbbQ上での永久体の計算を高速化する。 特に、この手法を用いて DFT および Schur 行列の固有値を計算する。 ユニタリ群上の測地学では、普遍スケーリング関数 $f(t)=frac1nln|perm((t))|$ が$n$とは独立である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We report on a computational and experimental study of permanents. On the computational side, we use the GPU to greaatly accelerate the computation of permanents over $\mathbb{C},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{F}_p$ and $\mathbb{Q}.$ In particular, we use this to compute the permanents of DFT and Schur matrices far beyond the ranges hitherto known. On the experimental side, we present two new observations. First, for Haar-distributed unitary matrices~$U$, the permanent $\perm(U)$ follows a circularly-symmetric complex Gaussian distribution $\mathcal{CN}(0,σ^2)$ -- we confirm this via a number of tests for $n$ up to~23 with $50{,}000$ samples. The DFT matrix permanent is an extreme outlier for every prime $n\ge 7$. In contrast, for Haar-random \emph{orthogonal} matrices~$O$, the permanent $\perm(O)$ is approximately real Gaussian but with positive excess kurtosis that decays as~$O(1/n)$, indicating slower convergence. For matrices with Gaussian entries (GUE, GOE, Ginibre), the permanent follows an $α$-stable distribution with stability index $α\approx 1.0$--$1.4$, well below the Gaussian value $α=2$. Secondly, we study the permanent along geodesics on the unitary group. For the geodesic from the identity to the $n$-cycle permutation matrix, we find a universal scaling function $f(t)=\frac{1}{n}\ln|\perm(γ(t))|$ that is independent of~$n$ in the large-$n$ limit, with a midpoint value \[ \perm(γ({\textstyle\frac12})) = (-1)^{(n-1)/2}\cdot 2e^{-n}\bigl(1+\tfrac{1}{3n}+O(n^{-2})\bigr) \] for odd~$n$ and zero for even~$n$. For the geodesic to the DFT matrix, the permanent recovers $10$--$40$ times above its valley minimum when $n$ is prime, but not when $n$ is composite -- a geodesic fingerprint of primality.
• Abstract（参考訳）: 永久体の計算および実験的研究について報告する。 計算面では、GPUを用いて、$\mathbb{C},$\mathbb{R},$$\mathbb{F}_p$および$\mathbb{Q}の計算を劇的に高速化する。 特に、この値を用いて、DFT と Schur の行列の永久性を計算する。 実験面では,2つの新しい観測結果が得られた。 まず、Haar-分散ユニタリ行列~$U$の場合、永久$\perm(U)$は円対称複素ガウス分布$\mathcal{CN}(0,σ^2)$に従う。 DFT行列は、すべての素数$n\ge 7$に対して極値である。 対照的に、Haar-random \emph{orthogonal} 行列~$O$ の場合、永遠の$\perm(O)$ は概実ガウスであるが、約$O(1/n)$ で崩壊する正の余剰曲率を持つ。 ガウス成分 (GUE, GOE, Ginibre) を持つ行列に対しては、恒久的な分布は安定性指数 $α\approx 1.0$-$1.4$ で、ガウス値 $α=2$ 以下である。 第2に、一元群における恒久的な測地学について研究する。 単位元から$n$-サイクルの置換行列への測地線について、任意のスケーリング関数 $f(t)=\frac{1}{n}\ln|\perm(γ(t))|$ は大$n$極限において~$n$ の独立であり、中間点値 \[ \perm(γ({\textstyle\frac12})) = (-1)^{(n-1)/2}\cdot 2e^{-n}\bigl(1+\tfrac{1}{3n}+O(n^{-2})\bigr) \] は奇数~$n と偶数~$n$ に対して 0 である。 DFTマトリクスへのジオデシックは、$n$が素数である場合、谷の最小値より10ドル～40ドル高く回復するが、$n$が合成である場合ではなく、プリミリティのジオデシックな指紋である。

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