論文の概要: States that grow linearly in time, exceptional points, and zero norm states in the simple harmonic oscillator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.17589v1
• Date: Thu, 19 Feb 2026 18:11:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-20 15:21:29.292245
• Title: States that grow linearly in time, exceptional points, and zero norm states in the simple harmonic oscillator
• Title（参考訳）: 単純高調波発振器における時間、例外点、ゼロノルム状態で線形に成長する状態
• Authors: Philip D. Mannheim,
• Abstract要約: 正規化不可能な正のエネルギー固有状態が存在し、その固有関数は標準エネルギー固有関数の固有関数であることを示す。 これらの非正規化可能であるが、しかしながら定常エネルギー固有状態は、さらに別の非正規化不可能状態の集合を伴っている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The simple harmonic oscillator has a well-known normalizable, positive energy, bound state spectrum. We show that degenerate with each such positive energy eigenvalue there is a non-normalizable positive energy eigenstate whose eigenfunction is orthogonal to that of the standard energy eigenfunction. This class of states is not built on the vacuum that $a$ annihilates, but is instead built on the vacuum that $a^{\dagger} a$ annihilates. These non-normalizable but nonetheless stationary energy eigenstates are accompanied by yet another set of non-normalizable states, states whose wave functions however are not stationary but instead grow linearly in time. With these states not being energy eigenstates, the eigenbasis of the Hamiltonian is incomplete; with the full Hilbert space containing states that are not energy eigenstates. Thus each energy eigenvalue of the harmonic oscillator is an exceptional point at which the Hamiltonian becomes of non-diagonalizable, and thus manifestly non-Hermitian, Jordan-block form. Such non-Hermitian structures occur for Hamiltonians that have an antilinear $PT$ symmetry. As is characteristic of such systems, one can construct a probability conserving inner product that despite the linear in time growth is nonetheless time independent, and not only that, it leads to states with zero norm. In addition, as is again characteristic of $PT$ symmetry, these non-normalizable states can be made normalizable by a continuation into a so-called Stokes wedge domain in the complex plane. In this domain one has a completely consistent quantum theory, one that lives alongside the standard normalizable energy eigenspectrum sector. This thus not quite so simple harmonic oscillator provides an explicit realization of our general contention that antilinearity is more basic to quantum theory than Hermiticity.
• Abstract（参考訳）: 単純な高調波発振器は、よく知られた正規化可能、正のエネルギー、有界状態スペクトルを持つ。 このような正のエネルギー固有値で退化すると、固有関数が標準エネルギー固有関数と直交する非正規化不可能な正のエネルギー固有状態が存在することを示す。 このタイプの状態は、$a$消滅する真空上に構築されるのではなく、$a^{\dagger} a$消滅する真空上に構築される。 これらの非正規化可能であるが、しかしながら定常エネルギー固有状態は、また別の非正規化不可能状態の集合を伴い、その波動関数は定常ではなく、時間内に線形に成長する。 これらの状態がエネルギー固有状態でないため、ハミルトニアンの固有基底は不完全であり、ヒルベルト空間はエネルギー固有状態ではない状態を含む。 したがって、調和振動子のそれぞれのエネルギー固有値は、ハミルトニアンが非対角化可能となり、したがって明らかに非エルミート、ヨルダンブロック形式となる例外点である。 そのような非エルミート構造は反線型の$PT$対称性を持つハミルトニアンに対して生じる。 このような系の特徴として、時間成長の線形性にもかかわらず時間に依存しない確率保存内積を構築することができ、それだけでなく、ノルムがゼロな状態へと導かれる。 さらに、再び$PT$対称性の特徴であるように、これらの非正規化可能な状態は複素平面のいわゆるストークス・ウェッジ領域への連続によって正規化可能である。 この領域では、完全に一貫した量子論があり、標準正規化可能なエネルギー固有スペクトルセクターと共に存在する。 したがって、この単純な調和振動子は、反線型性はエルミート性よりも量子理論に基礎的であるという我々の一般的な競合を明確に実現している。

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