論文の概要: Anisotropic local law for non-separable sample covariance matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.17960v1
- Date: Fri, 20 Feb 2026 03:28:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-02-23 18:01:41.215661
- Title: Anisotropic local law for non-separable sample covariance matrices
- Title（参考訳）: 非分離サンプル共分散行列の異方性局所法則
- Authors: Zhou Fan, Renyuan Ma, Elliot Paquette, Zhichao Wang,
- Abstract要約: サンプル共分散行列の局所法則を$K = N-1sum_i=1N g_ig_ig_i*$ とすると、Rn$ の確率ベクトル $g_1, ldots, g_N は共通共分散$$と独立である。
我々は,条件付き平均ゼロ分布,ランダム特徴モデル$g = (Xw)$,ガウス測度など,我々の仮定を満たす非分離例のクラスについて論じる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.181748307494608
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We establish local laws for sample covariance matrices $K = N^{-1}\sum_{i=1}^N \g_i\g_i^*$ where the random vectors $\g_1, \ldots, \g_N \in \R^n$ are independent with common covariance $Σ$. Previous work has largely focused on the separable model $\g = Σ^{1/2}\w$ with $\w$ having independent entries, but this structure is rarely present in statistical applications involving dependent or nonlinearly transformed data. Under a concentration assumption for quadratic forms $\g^*A\g$, we prove an optimal averaged local law showing that the Stieltjes transform of $K$ converges to its deterministic limit uniformly down to the optimal scale $η\geq N^{-1+\eps}$. Under an additional structural assumption on the cumulant tensors of $\g$ -- which interpolates between the highly structured case of independent entries and generic dependence -- we establish the full anisotropic local law, providing entrywise control of the resolvent $(K-zI)^{-1}$ in arbitrary directions. We discuss several classes of non-separable examples satisfying our assumptions, including conditionally mean-zero distributions, the random features model $\g = σ(X\w)$ arising in machine learning, and Gaussian measures with nonlinear tilting. The proofs introduce a tensor network framework for analyzing fluctuation averaging in the presence of higher-order cumulant structure.
- Abstract（参考訳）: K = N^{-1}\sum_{i=1}^N \g_i\g_i^*$ ここで、ランダムベクトル $\g_1, \ldots, \g_N \in \R^n$ は共通共分散$$$と独立である。
従来の研究は、分離可能なモデル $\g = Σ^{1/2}\w$ と独立なエントリを持つ $\w$ に主に焦点を合わせてきたが、依存的あるいは非線形に変換されたデータを含む統計的応用には、この構造はほとんど存在しない。
二次形式 $\g^*A\g$ の濃度仮定の下で、最適平均局所法則は、$K$ のスティルチェス変換がその決定論的極限に一様収束し、最適スケール $η\geq N^{-1+\eps}$ となることを示す。
独立エントリーの高度に構造化されたケースと一般依存の間に補間する$\g$の累積テンソルに関するさらなる構造的仮定の下で、完全異方性局所法則を確立し、任意の方向に分解剤$(K-zI)^{-1}$のエントリーワイズ制御を与える。
条件付き平均零分布、ランダム特徴モデル $\g = σ(X\w)$、非線形傾きを持つガウス測度など、我々の仮定を満たす非分離例のクラスについて論じる。
これらの証明は、高次累積構造の存在下での変動平均化を解析するためのテンソルネットワークフレームワークを導入する。
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