論文の概要: Rigorous Error Certification for Neural PDE Solvers: From Empirical Residuals to Solution Guarantees

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19165v1
• Date: Thu, 19 Mar 2026 17:19:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-20 17:19:06.294769
• Title: Rigorous Error Certification for Neural PDE Solvers: From Empirical Residuals to Solution Guarantees
• Title（参考訳）: ニューラルPDE解の厳密な誤り証明:経験的残差から解保証まで
• Authors: Amartya Mukherjee, Maxwell Fitzsimmons, David C. Del Rey Fernández, Jun Liu,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワークは、コロケーション点における残留損失を最小限に抑え、近似解を導出する。 ニューラル近似が解空間のコンパクト部分集合にあるとき、残差誤差が消えることによって真の解への収束が保証されることを示す。 決定論的および確率的収束結果を導出し、残差、境界および初期誤差を明示的な解誤差保証に変換する証明された一般化境界を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.335120646343732
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Uncertainty quantification for partial differential equations is traditionally grounded in discretization theory, where solution error is controlled via mesh/grid refinement. Physics-informed neural networks fundamentally depart from this paradigm: they approximate solutions by minimizing residual losses at collocation points, introducing new sources of error arising from optimization, sampling, representation, and overfitting. As a result, the generalization error in the solution space remains an open problem. Our main theoretical contribution establishes generalization bounds that connect residual control to solution-space error. We prove that when neural approximations lie in a compact subset of the solution space, vanishing residual error guarantees convergence to the true solution. We derive deterministic and probabilistic convergence results and provide certified generalization bounds translating residual, boundary, and initial errors into explicit solution error guarantees.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式の不確かさの定量化は、伝統的に離散化理論において基礎を置いており、解誤差はメッシュ/グリッド精製によって制御される。 物理インフォームドニューラルネットワークは、コロケーションポイントでの残留損失を最小限に抑え、最適化、サンプリング、表現、過剰適合から生じる新たなエラー源を導入することで、このパラダイムから根本的に逸脱する。 その結果、解空間における一般化誤差は未解決の問題のままである。 我々の主な理論的貢献は、残差制御と解空間誤差を結びつける一般化境界を確立することである。 ニューラル近似が解空間のコンパクト部分集合にあるとき、残差誤差が消えることによって真の解への収束が保証されることを示す。 決定論的および確率的収束結果を導出し、残差、境界および初期誤差を明示的な解誤差保証に変換する証明された一般化境界を提供する。

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