論文の概要: All elementary functions from a single binary operator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.21852v1
• Date: Mon, 23 Mar 2026 11:40:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-24 19:11:39.639867
• Title: All elementary functions from a single binary operator
• Title（参考訳）: 単一二元作用素からのすべての基本関数
• Authors: Andrzej Odrzywołek,
• Abstract要約: 単一のバイナリ作用素 eml(x,y)=exp(x)ln(y) と定数 1 は、科学計算機の標準的なレパートリーを生成する。 Exp-Minus-Log (Exp-Minus-Log) 形式では、そのような式はすべて同一ノードのバイナリツリーとなり、$S から 1 の中間名eml(S,S)$ の文法が生成される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A single two-input gate suffices for all of Boolean logic in digital hardware. No comparable primitive has been known for continuous mathematics: computing elementary functions such as sin, cos, sqrt, and log has always required multiple distinct operations. Here I show that a single binary operator, eml(x,y)=exp(x)-ln(y), together with the constant 1, generates the standard repertoire of a scientific calculator. This includes constants such as $e$, $π$, and $i$; arithmetic operations including $+$, $-$, $\times$, $/$, and exponentiation as well as the usual transcendental and algebraic functions. For example, $e^x=\operatorname{eml}(x,1)$, $\ln x=\operatorname{eml}(1,\operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,x),1))$, and likewise for all other operations. That such an operator exists was not anticipated; I found it by systematic exhaustive search and established constructively that it suffices for the concrete scientific-calculator basis. In EML (Exp-Minus-Log) form, every such expression becomes a binary tree of identical nodes, yielding a grammar as simple as $S \to 1 \mid \operatorname{eml}(S,S)$. This uniform structure also enables gradient-based symbolic regression: using EML trees as trainable circuits with standard optimizers (Adam), I demonstrate the feasibility of exact recovery of closed-form elementary functions from numerical data at shallow tree depths up to 4. The same architecture can fit arbitrary data, but when the generating law is elementary, it may recover the exact formula.
• Abstract（参考訳）: 単一の2入力ゲートは、デジタルハードウェアにおけるブール論理の全てに十分である。 sin, cos, sqrt, log といった基本関数の計算は、常に複数の異なる演算を必要とする。 ここでは、単一のバイナリ演算子 eml(x,y)=exp が示します。 (x)-ln (y) は定数1とともに科学計算器の標準レパートリーを生成する。 例えば$e$, $π$, $i$, $+$, $-$, $\times$, $/$, exponentiation, 通常の超越関数や代数関数などである。 例えば、$e^x=\operatorname{eml}(x,1)$, $\ln x=\operatorname{eml}(1,\operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,x),1)$など、他のすべての操作に対しても同様である。 このような演算子が存在することは予想されず、体系的な徹底的な探索によって発見し、具体的な科学・計算機の基盤として十分であるように構成的に確立した。 EML (Exp-Minus-Log) 形式では、そのような式はすべて同一ノードのバイナリツリーとなり、$S \to 1 \mid \operatorname{eml}(S,S)$ のような単純な文法が得られる。 標準オプティマイザ (Adam) を用いたトレーニング可能な回路として EML 木を用い,浅木深度4。 同じアーキテクチャは任意のデータに適合するが、生成法則が初等的である場合、正確な公式を復元することができる。

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