論文の概要: Theory of (Co)homological Invariants on Quantum LDPC Codes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.25831v1
• Date: Thu, 26 Mar 2026 18:50:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-30 21:49:48.238619
• Title: Theory of (Co)homological Invariants on Quantum LDPC Codes
• Title（参考訳）: 量子LDPC符号上の(Co)ホモロジー不変量の理論
• Authors: Zimu Li, Yuguo Shao, Fuchuan Wei, Yiming Li, Zi-Wen Liu,
• Abstract要約: 量子コード複体の(共)ホモロジカル不変量について検討し、それらの論理的操作を根本的に過小評価する。 我々は、HGP符号からシーフ符号設定への正準論理的表現の概念を一般化する。 本報告では, カップ製品の包括的計算を, せん断符号の複雑な枠組み内で行った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.357450788005307
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: With recent breakthroughs in the construction of good qLDPC codes and nearly good qLTCs, the study of (co)homological invariants of quantum code complexes, which fundamentally underlie their logical operations, has become evidently important. In this work, we establish a systematic framework for mathematically analyzing these invariants across a broad spectrum of constructions, from HGP codes to sheaf codes, by synthesizing advanced math tools. We generalize the notion of canonical logical representatives from HGP codes to the sheaf code setting, resolving a long-standing challenge in explicitly characterizing sheaf codewords. Building on this foundation, we present the first comprehensive computation of cup products within the intricate framework of sheaf codes. Given Artin's primitive root conjecture which holds under the generalized Riemann hypothesis, we prove that $\tildeΘ(N)$ independent cup products can be supported on almost good qLDPC codes and qLTCs of length N, opening the possibility of achieving linearly many parallel, nontrivial, constant-depth multi-controlled-Z gates. Moreover, by interpreting sheaf codes as covering spaces of HGP codes via graph lifts, we propose a scheme that inductively generates families of both HGP and sheaf codes in an interlaced fashion from a constant-size HGP code. Notably, the induction preserves all (co)homological invariants of the initial code. This provides a general framework for lifting invariants or logical gates from small codes to infinite code families, and enables efficient verification of such features by checking on small instances. Our theory provides a substantive methodology for studying invariants in HGP codes and extends it to sheaf codes. In doing so, we reveal deep and unexpected connections between qLDPC codes and math, thereby laying the groundwork for future advances in quantum coding, fault tolerance, and physics.
• Abstract（参考訳）: 良質なqLDPC符号とほぼ良質なqLTCの構成の最近の進歩により、量子コード錯体の(共)ホモロジー不変量の研究は明らかに重要である。 本研究では,高度な数学ツールを合成することにより,HGP符号から層コードに至るまで,多種多様な構成の不変量を数学的に解析するための体系的枠組みを確立する。 本稿では,HGP コードからシェフコード設定への正準論理的表現の概念を一般化し,シーフコードワードを明示的に特徴付ける上での長年の課題を解決する。 この基礎の上に構築された本論文では, せん断符号の複雑な枠組みの中で, カップ製品の包括的計算を行う。 一般化されたリーマン予想の下で成り立つアルティンの原始根予想を考えると、$\tilde'(N)$ 独立カップ積は長さ N の qLDPC 符号と qLTC のほとんどよい qLDPC 符号でサポートできることを証明し、線形に多くの平行で非自明で、定値な多重制御-Z ゲートを達成できる可能性を開く。 さらに, シャーフ符号をグラフリフトによるHGP符号の被覆空間として解釈することにより, 一定サイズのHGP符号から, HGP符号とシーフ符号の両方のファミリをインダクティブに生成する方式を提案する。 特に、帰納法は初期符号のすべての(共)ホモロジー不変量を保存する。 これは、不変性や論理ゲートを小さなコードから無限のコードファミリに持ち上げるための一般的なフレームワークを提供し、小さなインスタンスをチェックすることで、これらの機能の効率的な検証を可能にする。 我々の理論は、HGP符号の不変量を研究するための実質的な方法論を提供し、それを層符号に拡張する。 そこで我々は,qLDPC符号と数学の深い,予期せぬ関係を明らかにし,量子符号化,フォールトトレランス,物理の今後の進歩の基盤となる。

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