論文の概要: The Physics of (good) LDPC Codes I. Gauging and dualities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.16032v1
• Date: Tue, 24 Oct 2023 17:47:06 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-25 17:28:17.087592
• Title: The Physics of (good) LDPC Codes I. Gauging and dualities
• Title（参考訳）: LDPC符号の物理 I. ゲージングと双対性
• Authors: Tibor Rakovszky and Vedika Khemani
• Abstract要約: 低深さパリティチェック(LDPC)符号は、(qu)ビット間の空間的に非局所的な相互作用を可能にする誤り訂正のパラダイムである。 これらの符号は、符号距離の最適スケーリングと有限符号化率を組み合わせた「良い符号」をもたらす可能性がある。 量子LDPC符号のすべての既知の例は、局所的に検証可能な古典符号をゲージすることで得られることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.03922370499388702
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Low-depth parity check (LDPC) codes are a paradigm of error correction that allow for spatially non-local interactions between (qu)bits, while still enforcing that each (qu)bit interacts only with finitely many others. On expander graphs, they can give rise to ``good codes'' that combine a finite encoding rate with an optimal scaling of the code distance, which governs the code's robustness against noise. Such codes have garnered much recent attention due to two breakthrough developments: the construction of good quantum LDPC codes and good locally testable classical LDPC codes, using similar methods. Here we explore these developments from a physics lens, establishing connections between LDPC codes and ordered phases of matter defined for systems with non-local interactions and on non-Euclidean geometries. We generalize the physical notions of Kramers-Wannier (KW) dualities and gauge theories to this context, using the notion of chain complexes as an organizing principle. We discuss gauge theories based on generic classical LDPC codes and make a distinction between two classes, based on whether their excitations are point-like or extended. For the former, we describe KW dualities, analogous to the 1D Ising model and describe the role played by ``boundary conditions''. For the latter we generalize Wegner's duality to obtain generic quantum LDPC codes within the deconfined phase of a Z_2 gauge theory. We show that all known examples of good quantum LDPC codes are obtained by gauging locally testable classical codes. We also construct cluster Hamiltonians from arbitrary classical codes, related to the Higgs phase of the gauge theory, and formulate generalizations of the Kennedy-Tasaki duality transformation. We use the chain complex language to discuss edge modes and non-local order parameters for these models, initiating the study of SPT phases in non-Euclidean geometries.
• Abstract（参考訳）: 低深さパリティチェック(ldpc)符号は誤り訂正のパラダイムであり、(qu)ビット間の空間的非局所的相互作用を可能にするが、各(qu)ビットが有限個の他の多くのビットとのみ相互作用することを強制する。 拡張性グラフでは、有限符号化率とコード距離の最適なスケーリングを組み合わせた‘よいコード’が生まれ、それによってコードのノイズに対する堅牢性が制御される。 このようなコードは、優れた量子ldpc符号と優れたローカルテスト可能な古典ldpc符号の2つのブレークスルー開発によって、近年注目を集めている。 ここでは,非局所相互作用系および非ユークリッド幾何学系において定義されるldpc符号と秩序相間の接続を確立する物理レンズを用いて,これらの発展を考察する。 我々は、クラマース=ワンニエ(kw)双対性とゲージ理論の物理的概念をこの文脈に一般化し、連鎖錯体の概念を組織化原理として用いる。 一般的な古典的ldpc符号に基づくゲージ理論を議論し、その励起が点的か拡張的かに基づいて2つのクラスを区別する。 前者については、1次元イジングモデルに類似したkw双対性を記述するとともに、``boundary conditions''で果たす役割を記述する。 後者については、ウェグナーの双対性を一般化して、Z_2ゲージ理論の分解位相内での一般的な量子LDPC符号を得る。 量子LDPC符号のすべての既知の例は、局所的に検証可能な古典符号をゲージすることで得られることを示す。 また、ゲージ理論のヒッグス位相に関連する任意の古典符号からクラスターハミルトニアンを構築し、ケネディ・タサキ双対変換の定式化を行う。 連鎖複素言語を用いてこれらのモデルのエッジモードと非局所順序パラメータを議論し、非ユークリッド幾何学におけるSPT位相の研究を開始する。

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