論文の概要: Time evolution of quantum gates and the necessity of complex numbers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.17086v1
• Date: Sat, 18 Apr 2026 17:47:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-28 13:43:48.03847
• Title: Time evolution of quantum gates and the necessity of complex numbers
• Title（参考訳）: 量子ゲートの時間発展と複素数の必要性
• Authors: M. P. Vaughan,
• Abstract要約: 量子ゲートの効果を、ある特性時間に作用する実効ハミルトニアンの作用によって記述する単純なスキームを記述する。 2つの量子ビットの絡み合いをもたらす複雑な位相の役割も強調される。 次元$N = 2n$, ここで、mathbbZ+$の$nは、$n-1$ qubitsのモデリングに適している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: As physical systems, qubits must evolve from input to output state. We describe a simple scheme in which the effect of a quantum gate is described by the action of an effective Hamiltonian acting for some characteristic time. This model shows that the action of common unary gates is to induce Bloch sphere trajectories along lines of latitude relative to an eigenvector of the gate. Such trajectories would immediately move a `rebit', initially confined to a line of latitude, off this line and acquire a complex phase. The role of the complex phase in bringing about the entanglement of two qubits is also highlighted. It is then asked whether such dynamics could be modelled using real QM. It is shown that the continuous evolution required for such dynamics can only be provided by members of the special orthogonal group of the vector space. Since the matrices representing many quantum gates of interest have determinant -1, no real special orthogonal operators can model their evolution if the dimension of the real vector space is the same as that of the complex space. Next we look at the mapping from a complex vector space of dimension $N$ to a real space of dimension $2N$ that is often used to construct `real' QM. It is shown that this is just an isomorphic mapping from the scalar representation of complex numbers to their $2\times2$ matrix equivalents, so that the resulting matrices are actually represent complex matrices. Finally, we investigate the endomorphism of real vector spaces of dimension $N = 2^{n}$, where $n \in \mathbb{Z}^{+}$, suitable for the modelling of $n-1$ qubits. We confirm that the mapping from $\mathbb{C}^{2^{n-1}} \to \mathbb{R}^{2^{n}}$ only maps elements of $\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n-1}})$ to a restricted subspace of $\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2^{n}})$ that reproduces the `real' representation of complex matrices.
• Abstract（参考訳）: 物理系として、量子ビットは入力から出力状態へと進化しなければならない。 量子ゲートの効果を、ある特性時間に作用する実効ハミルトニアンの作用によって記述する単純なスキームを記述する。 このモデルは、共通単項ゲートの作用が、ゲートの固有ベクトルに対して緯度線に沿ってブロッホ球軌道を誘導することを示しています。 このような軌道は、最初は緯度線に制限された 'rebit' をすぐにこの線から移動し、複雑な位相を得る。 2つの量子ビットの絡み合いをもたらす複雑な位相の役割も強調される。 次に、実際のQMを用いてそのような力学をモデル化できるかどうかを問う。 そのような力学に必要とされる連続的進化は、ベクトル空間の特別な直交群のメンバーによってのみ与えられることが示されている。 多くの量子ゲートを表す行列は行列式 -1 を持つので、実ベクトル空間の次元が複素空間の次元と同じであれば、真の特殊直交作用素はそれらの進化をモデル化できない。 次に、次元$N$の複素ベクトル空間から次元$2N$の実空間への写像を考える。 これは単に複素数のスカラー表現からその2.\times2$行列同値への同型写像であり、結果として得られる行列は実際は複素行列を表す。 最後に、次元$N = 2^{n}$の実ベクトル空間の自己準同型を、$n-1$ qubitsのモデリングに適した$n \in \mathbb{Z}^{+}$で調べる。 我々は、$\mathbb{C}^{2^{n-1}} \to \mathbb{R}^{2^{n}}$ から $\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n-1}})$ への写像が、複素行列の 'real' 表現を再現する $\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2^{n}})$ の制限部分空間にのみ写像されることを確認する。

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