論文の概要: Efficient Unitary T-designs from Random Sums
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.09335v1
- Date: Wed, 14 Feb 2024 17:32:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-15 14:21:24.115834
- Title: Efficient Unitary T-designs from Random Sums
- Title（参考訳）: ランダムサムからの効率的なユニタリT-設計
- Authors: Chi-Fang Chen, Jordan Docter, Michelle Xu, Adam Bouland, Patrick
Hayden
- Abstract要約: Unitary $T$-Designsは、量子アルゴリズム、ベンチマーク、トモグラフィ、通信における様々な応用において、量子情報において重要な役割を果たす。
我々は、$tildeO(T2 n2)$量子ゲートを用いたランダム行列理論による$T$-designsの新たな構成を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6640968473398456
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Unitary $T$-designs play an important role in quantum information, with
diverse applications in quantum algorithms, benchmarking, tomography, and
communication. Until now, the most efficient construction of unitary
$T$-designs for $n$-qudit systems has been via random local quantum circuits,
which have been shown to converge to approximate $T$-designs in the diamond
norm using $O(T^{5+o(1)} n^2)$ quantum gates. In this work, we provide a new
construction of $T$-designs via random matrix theory using $\tilde{O}(T^2 n^2)$
quantum gates. Our construction leverages two key ideas. First, in the spirit
of central limit theorems, we approximate the Gaussian Unitary Ensemble (GUE)
by an i.i.d. sum of random Hermitian matrices. Second, we show that the product
of just two exponentiated GUE matrices is already approximately Haar random.
Thus, multiplying two exponentiated sums over rather simple random matrices
yields a unitary $T$-design, via Hamiltonian simulation. A central feature of
our proof is a new connection between the polynomial method in quantum query
complexity and the large-dimension ($N$) expansion in random matrix theory. In
particular, we show that the polynomial method provides exponentially improved
bounds on the high moments of certain random matrix ensembles, without
requiring intricate Weingarten calculations. In doing so, we define and solve a
new type of moment problem on the unit circle, asking whether a finite number
of equally weighted points, corresponding to eigenvalues of unitary matrices,
can reproduce a given set of moments.
- Abstract（参考訳）: unitary $t$-designsは量子情報において重要な役割を担っており、量子アルゴリズム、ベンチマーク、トモグラフィ、通信における様々な応用がある。
これまで、$n$-qudit系に対する1次$T$-designsの最も効率的な構成はランダムな局所量子回路であり、$O(T^{5+o(1)} n^2)$量子ゲートを用いてダイヤモンドノルム内の近似$T$-designsに収束することが示されている。
本研究では、$\tilde{O}(T^2 n^2)$量子ゲートを用いたランダム行列理論による$T$-設計の新しい構成を提供する。
我々の建設は二つの重要なアイデアを生かしている。
まず、中央極限定理の精神において、ランダムエルミート行列のi.i.d.和によってガウスユニタリアンサンブル(gue)を近似する。
第二に、2つの指数 gue 行列の積は、既におよそ haar ランダムであることを示す。
したがって、比較的単純なランダム行列に2つの指数和を乗算すると、ハミルトニアンシミュレーションを通じて一意的な$T$-設計が得られる。
我々の証明の中心的な特徴は、量子クエリ複雑性における多項式法とランダム行列理論における大次元(N$)展開との新たな接続である。
特に、多項式法は、複雑なワイナルテン計算を必要とせずに、あるランダム行列アンサンブルの高モーメント上の指数関数的に改良された境界を与えることを示す。
その際、単位円上の新しい種類のモーメント問題を定義し、解決し、単位行列の固有値に対応する等重み付き点の有限個数が与えられたモーメント集合を再現できるかどうかを問う。
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