論文の概要: Regularization of Divergent Power Sums via Fractional Extension of Differential Generators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.23544v1
• Date: Sun, 26 Apr 2026 05:42:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-28 17:12:07.422407
• Title: Regularization of Divergent Power Sums via Fractional Extension of Differential Generators
• Title（参考訳）: 差分発電機の分数的拡張による分数次パワーサムの正規化
• Authors: Eric A. Galapon,
• Abstract要約: 我々は、すべての非負整数 $m$ に対して、発散和 $sum_n=1inftynm$ の正規化を考える。 非整数$の和の拡張は、整数$m$の正規化和が非整数$の和から連続的に現れるという整合条件の下で得られる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We reconsider the problem of regularizing the divergent series $\sum_{n=1}^{\infty}n^α$ for $\operatorname{Re}α>-1$, and offer a regularization prescription that yields the Riemann zeta regularization as a special case. The development of the regularization is framed as a two-step problem. The first step is prescribing a regularization of the divergent sum $\sum_{n=1}^{\infty}n^m$ for every non-negative integer $m$; and the second step is the extension of the sum for non-integer $α$. The extension is obtained under the consistency condition that the regularized sum for integer $m$ emerges continuously from the sum for non-integer $α$. The scheme is specified by a differential generator $L=L(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)$ through which a generalized spectral function (GSF), $K_L(t)$, is constructed. Under the condition that the GSF has a holomorphic complex extension $K_L(z)$ with $z=0$ as a pole, the case for integer $m$ takes the regularized value $\sum_{n=1}^{\infty} n^m = (2πi)^{-1}\oint_C L^m K_L(z) z^{-1}\mathrm{d}z$, where $C$ is a closed contour enclosing only the pole of $K_L(z)$ at the origin. On the other hand, under the consistency condition, the case for non-integer $α$ takes the value $\sum_{n=1}^{\infty}n^α=(2πi)^{-1}\int_{\tilde{C}} L^α K_L(z) z^{-1}\mathrm{d}z$, where $L^α$ is the fractional extension of $L^m$ and $\tilde{C}$ is an appropriate deformation of the contour $C$. Here, we obtain the regularization corresponding to the generator $L=h(t) \mathrm{d}/\mathrm{d}t$, where $h(t)$ has the analytic extension $h(z)$ such that $1/h(z)$ is an entire function. We find that the regularized sum is equal to the Riemann zeta regularized value plus terms determined by the generator $L$.
• Abstract（参考訳）: 発散級数 $\sum_{n=1}^{\infty}n^α$ for $\operatorname{Re}α>-1$ の正則化の問題を再考し、特殊ケースとしてリーマンゼータ正則化をもたらす正則化処方を提供する。 正規化の開発は2段階の問題である。 第1のステップは、すべての非負整数 $m$ に対して発散和 $\sum_{n=1}^{\infty}n^m$ の正則化を規定し、第2のステップは非整数 $α$ の和の拡張である。 この拡張は、整数$m$の正規化和が非整数$α$の和から連続的に現れるという整合条件の下で得られる。 このスキームは微分発生器$L=L(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)$で指定され、一般化スペクトル関数(GSF)、$K_L(t)$が構成される。 GSF が極として $z=0$ を持つ正則複素拡大 $K_L(z)$ を持つという条件の下で、整数 $m$ のケースは正規化値 $\sum_{n=1}^{\infty} n^m = (2πi)^{-1}\oint_C L^m K_L(z) z^{-1}\mathrm{d}z$ を取る。 一方、一貫性条件下では、非整数$α$の場合、$\sum_{n=1}^{\infty}n^α=(2πi)^{-1}\int_{\tilde{C}} L^α K_L(z) z^{-1}\mathrm{d}z$, ここで$L^α$は$L^m$の分数拡大であり、$\tilde{C}$は$C$の適切な変形である。 ここでは、生成元 $L=h(t) \mathrm{d}/\mathrm{d}t$ に対応する正則化を得る。 正規化和がリーマンゼータ正規化値と等しいことと、生成元$L$で決定される項が一致することが分かる。

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