論文の概要: Quantitative Sobolev Approximation Bounds for Neural Operators with Empirical Validation on Burgers Equation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.08170v1
• Date: Mon, 04 May 2026 22:15:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-12 23:28:49.419158
• Title: Quantitative Sobolev Approximation Bounds for Neural Operators with Empirical Validation on Burgers Equation
• Title（参考訳）: バーガー方程式上の経験的検証を伴うニューラル演算子のソボレフ近似境界
• Authors: Nicole Hao,
• Abstract要約: 本研究では,ソボレフ空間における演算子学習のための関数解析フレームワークを開発し,それをFNO(Fourier Neural Operators)の数値的挙動に接続する。 モデルサイズの全体にわたって、テスト$H1$-errorsを$mathcalO(10-7)$まで下げ、相対誤差を10～3$とし、解と空間微分を正確に一致させる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural operators have emerged as a powerful tool for learning mappings between infinite-dimensional function spaces. However, their approximation properties in Sobolev norms remain poorly quantified, even though these norms control both function values and derivatives and are the natural metrics for PDE well-posedness, stability, and generalization. We develop a functional-analytic framework for operator learning in Sobolev spaces and connect it to the numerical behavior of Fourier Neural Operators (FNOs) on a prototypical PDE. First, for a continuous nonlinear operator $\mathcal{G}: H^{s}(D)\to H^{t}(D')$ with $s > d/2$ and inputs restricted to a compact subset of $H^{s}(D)$, we prove that $\mathcal{G}$ can be uniformly approximated in $H^{t}$-norm by a neural operator with $\mathcal{O}(\varepsilon^{-d/s})$ trainable parameters. This yields an explicit complexity--error relation of the form $\|\mathcal{G}-\mathcal{G}_θ\|_{H^{t}} \lesssim C N^{-s/d}$. We then study the one-dimensional viscous Burgers solution operator $\mathcal{G}: u_{0}\mapsto u(\cdot,1)$ on a bounded $H^{1}$-ball and train FNOs with an $H^{1}$-loss. Across a sweep of model sizes, we obtain test $H^{1}$-errors down to $\mathcal{O}(10^{-7})$ and relative errors of order $10^{-3}$, with predictions accurately matching both solutions and spatial derivatives on held-out data. A log-log plot of Sobolev error versus parameter count exhibits an approximate power law $\|\mathcal{G}-\mathcal{G}_θ\|_{H^{1}} \approx C N^{-α}$ with empirical exponent $α\approx 1.4$, and long-horizon training reveals optimization instabilities in large FNOs, providing quantitative evidence that Sobolev-space approximation theory meaningfully predicts neural-operator scaling behavior.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークは無限次元関数空間間の写像を学習するための強力なツールとして登場した。 しかし、それらのソボレフノルムの近似特性は、これらのノルムが関数値と微分の両方を制御し、PDEの正当性、安定性、一般化の自然な指標であるにもかかわらず、十分に定量化されていない。 本研究では,ソボレフ空間における演算子学習のための関数解析フレームワークを開発し,それをFNO(Fourier Neural Operators)の数値的挙動に接続する。 まず、連続非線形作用素 $\mathcal{G}: H^{s}(D)\to H^{t}(D')$ with $s > d/2$ および$H^{s}(D)$ のコンパクト部分集合に制限された入力に対して、$\mathcal{G}$が$\mathcal{O}(\varepsilon^{-d/s})$ トレーニング可能なパラメータを持つニューラル作用素によって$H^{t}$-normで均一に近似できることを証明する。 これにより、$\|\mathcal{G}-\mathcal{G}_θ\|_{H^{t}} \lesssim C N^{-s/d}$ という形の明示的な複雑性-エラー関係が得られる。 次に、1次元粘性バーガーズ解作用素 $\mathcal{G}: u_{0}\mapsto u(\cdot,1)$ を有界な$H^{1}$-ball 上で研究し、$H^{1}$-loss で FNOs を訓練する。 H^{1}$-errors down to $\mathcal{O}(10^{-7})$ and relative error of order 10^{-3}$, with predictions accurate matching both solution and space derivatives on held-out data。 ソボレフ誤差対パラメータカウントのログプロットは、経験的指数 $α\approx 1.4$ を持つ近似パワー則 $\|\mathcal{G}-\mathcal{G}_θ\|_{H^{1}} \approx C N^{-α}$ を示し、長い水平トレーニングは大きなFNOにおける最適化の不安定性を明らかにし、ソボレフ空間近似理論がニューラルネットワークのスケーリング挙動を有意に予測する定量的な証拠を与える。

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