論文の概要: Don't Fix the Basis -- Learn It: Spectral Representation with Adaptive Basis Learning for PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.10451v1
- Date: Mon, 11 May 2026 12:20:57 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-12 23:28:50.800877
- Title: Don't Fix the Basis -- Learn It: Spectral Representation with Adaptive Basis Learning for PDEs
- Title（参考訳）: 基底を直さない - 学習する: PDEのための適応基底学習によるスペクトル表現
- Authors: Xuxiang Zhao, Angelica I. Aviles-Rivero,
- Abstract要約: 本稿では,事前定義されたベースに依存するのではなく,データ依存のスペクトル表現を学習するフレームワークであるAdaptive Basis Learning(ABLE)を提案する。
ABLEは、学習された補助密度を介して空間適応的なParsevalフレームを構築し、オペレータが持ち上げられたスペクトル空間で動作できるようにする。
この結果から,演算子の複雑性のみではなく,データ駆動による表現の選択が,ニューラル演算子の設計における重要なボトルネックであることを強調した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2581652423269287
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: Spectral neural operators achieve strong performance for PDE learning, but rely on fixed global bases that limit their ability to represent spatially heterogeneous and multiscale dynamics. We propose Adaptive Basis Learning (ABLE), a framework that learns data-dependent spectral representations instead of relying on predefined bases. ABLE constructs a spatially adaptive Parseval frame via a learned ancillary density, enabling the operator to act in a lifted spectral space while preserving invertibility and maintaining $O(N\log N)$ complexity through FFT-based implementation. This shifts the source of expressivity from spectral coefficients to the representation itself, allowing the model to capture localized structures and non-translation-invariant interactions more efficiently. ABLE integrates seamlessly into existing neural operator architectures as a drop-in replacement for spectral layers. Across a range of benchmarks ABLE improves accuracy over strong baselines, with the largest gains in regimes characterized by sharp gradients and multiscale behavior. Moreover, augmenting existing models (e.g., U-FNO, HPM) with ABLE further enhances their performance, demonstrating its role as a general and complementary spectral refinement. Our results highlight that the data-driven choice of representation, rather than operator complexity alone, is a key bottleneck in neural operator design. By learning the basis itself, ABLE provides a principled and efficient framework for improving spectral methods in PDE learning.
- Abstract（参考訳）: スペクトルニューラル演算子はPDE学習において強い性能を達成するが、空間的に不均一でマルチスケールなダイナミクスを表現する能力を制限する固定されたグローバルベースに依存している。
本稿では,事前定義されたベースに依存するのではなく,データ依存のスペクトル表現を学習するフレームワークであるAdaptive Basis Learning(ABLE)を提案する。
ABLEは学習された補助密度によって空間適応的なParsevalフレームを構築し、演算子は可逆性を保ちながら持ち上げられたスペクトル空間で作用し、FFTベースの実装により$O(N\log N)$複雑性を維持する。
これにより、表現力の源はスペクトル係数から表現そのものにシフトし、モデルが局所構造と非翻訳不変相互作用をより効率的に捉えることができる。
ABLEは、スペクトル層のドロップイン置換として、既存のニューラルオペレーターアーキテクチャにシームレスに統合する。
さまざまなベンチマーク ABLE によって、強いベースラインよりも精度が向上し、シャープな勾配とマルチスケールな振る舞いを特徴とするレジームで最大の増加率がある。
さらに、既存のモデル(例えば、U-FNO、HPM)を ABLE で拡張することで、その性能をさらに向上させ、一般および補完的なスペクトル改善としての役割を示す。
この結果から,演算子の複雑性のみではなく,データ駆動による表現の選択が,ニューラル演算子の設計における重要なボトルネックであることを強調した。
ベース自体を学習することで、ABLEはPDE学習におけるスペクトル法を改善するための原則的かつ効率的なフレームワークを提供する。
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