論文の概要: Martingale Neural Operators: Learning Stochastic Marginals via Doob-Meyer Factorization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.15806v1
• Date: Fri, 15 May 2026 10:00:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-18 21:22:26.247009
• Title: Martingale Neural Operators: Learning Stochastic Marginals via Doob-Meyer Factorization
• Title（参考訳）: Martingale Neural Operators:Doob-Meyer Factorizationによる確率行列の学習
• Authors: Kai Hidajat,
• Abstract要約: ドゥーブ=マイヤーの定理は、任意の半マーチンゲールが基本的に予測可能なドリフトと予測不可能なゼロ平均マーチンゲールに分解されることを証明している。 本稿では,初期条件を端末法則の条件平均と共分散に直接マッピングするMartingale Neural Operator(MNO)を紹介する。 MNOはワッサースタイン距離を4ドルフィールド理論で最大120ドル、バーガーズで680ドルまで削減し、壁面のトレーニング予算で一致した条件付き拡散ベースラインよりも早くsim 3timesを評価した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators excel as deterministic surrogates, but inevitably collapse to the conditional mean when applied to stochastic PDEs, discarding the variance and tail structure upon which uncertainty quantification depends. Recovering this structure typically requires Monte Carlo rollouts or grafted generative models, both of which surrender the one-shot efficiency and resolution invariance that define the operator paradigm. To resolve this, we draw on the Doob-Meyer theorem, which establishes that any semimartingale fundamentally decomposes into a predictable drift and an unpredictable, zero-mean martingale. Translating this theorem into an architectural prior, we introduce the Martingale Neural Operator (MNO). MNO maps an initial condition directly to the conditional mean and covariance of the terminal law, parameterized by a drift-like mean and a low-rank factor $B_φ$ with $B_φ^\top B_φ$ positive semi-definite by construction. For our experiments, we use a Gaussian residual instantiation. Across 1D SPDEs, rough volatility, and 2D operator tasks, MNO reduces Wasserstein distance by up to $120\times$ on $φ^4$ field theory and $68\times$ on stochastic Burgers, evaluating $\sim 3\times$ faster than a conditional diffusion baseline at matched wall-clock training budgets. On 2D tasks, MNO is comparable to FNO on zero-shot resolution transfer and turbulent flow, while quasi-deterministic systems such as Gray-Scott remain a failure mode.
• Abstract（参考訳）: ニューラル作用素は決定論的サロゲートとして励起するが、確率的PDEに適用すると必然的に条件平均に崩壊し、不確実な定量化が依存する分散と尾構造を捨てる。 この構造を復元するにはモンテカルロロールアウトまたはグラフト生成モデルが必要であるが、どちらも作用素のパラダイムを定義する一発効率と分解不変性を放棄する。 これを解決するために、ドオブ・メイヤーの定理(英語版)(Doob-Meyer theorem)は、任意の半マーチンゲールが基本的に予測可能なドリフトと予測不可能なゼロ平均マーチンゲールに分解されることを証明している。 この定理をアーキテクチャに先立って,Martingale Neural Operator (MNO) を導入する。 MNO は初期条件を、ドリフトのような平均と、B_φ^\top B_φ$ の低ランク係数 $B_φ$ でパラメータ化された端末法則の条件平均と共分散に直接マッピングする。 実験では、ガウス的残留インスタンス化を用いる。 1D SPDE、ラフボラティリティ、および2Dオペレータータスク全体で、MNOは、ウォーサースタイン距離を$φ^4$場の理論で最大120\times$と$68\times$で減らし、マッチした壁面トレーニング予算で条件付き拡散ベースラインよりも早く$\sim 3\times$を評価する。 2Dタスクでは、MNOはゼロショットの解像度転送や乱流においてFNOに匹敵するが、グレイ・スコットのような準決定論的システムは失敗モードのままである。

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