論文の概要: Neural Brownian Motion

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.14499v1
• Date: Sat, 19 Jul 2025 06:09:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-22 20:51:31.916416
• Title: Neural Brownian Motion
• Title（参考訳）: 神経ブラウン運動
• Authors: Qian Qi,
• Abstract要約: 本稿では,ニューラル・ブラウン運動(NBM)について紹介する。 ボラティリティ関数 $nu_theta$ は事前に仮定されるのではなく、制約 $g_theta(t, M_t, nu_theta(t, M_t)) = 0 で暗黙的に定義される。 悲観的か楽観的であるかは、学習した$thetaによって不均一に決定され、不確実性に対する態度が発見可能な特徴であるモデルに対して厳密な基礎を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1756081703276
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper introduces the Neural-Brownian Motion (NBM), a new class of stochastic processes for modeling dynamics under learned uncertainty. The NBM is defined axiomatically by replacing the classical martingale property with respect to linear expectation with one relative to a non-linear Neural Expectation Operator, $\varepsilon^\theta$, generated by a Backward Stochastic Differential Equation (BSDE) whose driver $f_\theta$ is parameterized by a neural network. Our main result is a representation theorem for a canonical NBM, which we define as a continuous $\varepsilon^\theta$-martingale with zero drift under the physical measure. We prove that, under a key structural assumption on the driver, such a canonical NBM exists and is the unique strong solution to a stochastic differential equation of the form ${\rm d} M_t = \nu_\theta(t, M_t) {\rm d} W_t$. Crucially, the volatility function $\nu_\theta$ is not postulated a priori but is implicitly defined by the algebraic constraint $g_\theta(t, M_t, \nu_\theta(t, M_t)) = 0$, where $g_\theta$ is a specialization of the BSDE driver. We develop the stochastic calculus for this process and prove a Girsanov-type theorem for the quadratic case, showing that an NBM acquires a drift under a new, learned measure. The character of this measure, whether pessimistic or optimistic, is endogenously determined by the learned parameters $\theta$, providing a rigorous foundation for models where the attitude towards uncertainty is a discoverable feature.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ニューラル・ブラウン運動(NBM)について紹介する。 NBMは、線形期待に関する古典的なマーチンゲール特性を、ニューラルネットワークによってパラメータ化される後向き確率微分方程式(BSDE)によって生成される非線形ニューラル期待演算子である$\varepsilon^\theta$に置き換えることで、公理的に定義される。 我々の主な結果は標準的 NBM の表現定理であり、物理測度の下でゼロドリフトを持つ連続 $\varepsilon^\theta$-martingale と定義する。 我々は、ドライバ上の重要な構造的仮定の下で、そのような標準的 NBM が存在し、${\rm d} M_t = \nu_\theta(t, M_t) {\rm d} W_t$ という形の確率微分方程式に対する一意の強い解であることを示す。 決定的に、ボラティリティ関数 $\nu_\theta$ は先験を仮定するのではなく、代数的制約 $g_\theta(t, M_t, \nu_\theta(t, M_t)) = 0$ で暗黙的に定義される。 この過程の確率計算を開発し、二次の場合のジルサノフ型定理を証明し、NBMが新しい学習尺度の下でドリフトを得ることを示す。 この測度の特徴は悲観的であれ楽観的であれ、学習されたパラメータ$\theta$によって不均一に決定され、不確実性に対する態度が発見可能な特徴であるモデルに対して厳密な基礎を提供する。

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