論文の概要: On APN Exponents and the Differential and Boomerang Properties of Binomials in Characteristic 3

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.23224v1
• Date: Fri, 22 May 2026 04:33:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-25 17:29:20.198129
• Title: On APN Exponents and the Differential and Boomerang Properties of Binomials in Characteristic 3
• Title（参考訳）: APN指数と特性3における二項の微分およびボメラン特性について
• Authors: Namhun Koo, Soonhak Kwon, Minwoo Ko, Byunguk Kim,
• Abstract要約: F_r(x) = xr (1 + (x))$ over $mathbbF_pn$ という形の二項式は非常に低いブーメラン均一性を示す。 局所的にPNであり、最小限のブーメラン均一性を0$とする二項のクラスを同定し、厳密に証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.27998963147546135
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Recent studies on binomials of the form $F_r(x) = x^r(1 + χ(x))$ over $\mathbb{F}_{p^n}$ have shown that these functions can exhibit very low boomerang uniformity. In this paper, we focus on the specific behavior of such binomials in characteristic $3$, where instances of extremely low boomerang uniformity-namely $0$ or $1$-seem to arise more frequently than in other characteristics. First, we provide a systematic analysis of Almost Perfect Nonlinear (APN) power functions in characteristic $3$. We present an explicit parametrization of APN exponents arising from the construction of Zha and Wang and demonstrate through numerical results for $n \le 13$ that this generalized framework accounts for several previously known and sporadic APN instances. Building on this classification, we identify and rigorously prove two classes of binomials $F_r$ that are locally-PN and possess the minimum possible boomerang uniformity of $0$. These classes involve exponents derived from the aforementioned APN construction and the differentially 4-uniform exponent $r = 2 \cdot 3^{\frac{n-1}{2}} + 1$. Furthermore, we analyze the binomial $F_r$ with $r = 3^n - 3$, proving that it is locally-APN with boomerang uniformity $1$ when $n\ge 5$ is odd, and completely determine its boomerang spectrum through the evaluation of character sums. Our results clarify and extend existing studies on the cryptographic properties of binomials, providing a systematic characterization of several classes of binomials with very low boomerang uniformity in characteristic $3$.
• Abstract（参考訳）: F_r(x) = x^r(1 + s(x))$ over $\mathbb{F}_{p^n}$ という形の双項に関する最近の研究により、これらの関数は非常に低いブーメラン均一性を示すことが示されている。 本稿では,これらの二項式の特徴である3ドル(約3,300円)の特異な挙動に着目し,その場合,非常に低いブーメランの均一性が0ドルあるいは1ドル(約1,300円)の場合に,他の特性よりも頻繁に発生することを示す。 まず, ほぼ完全非線形(APN)電力関数を3ドルの特性で系統的に解析する。 本稿では,Zha と Wang の構成から生じる APN 指数の明示的なパラメトリゼーションについて述べる。 この分類に基づいて、局所PNで0$という最小のブーメラン均一性を持つ2種類の二項式を同定し、厳密に証明する。 これらのクラスは、前述のAPN構成から派生した指数と微分 4-ユニフォーム指数 $r = 2 \cdot 3^{\frac{n-1}{2}} + 1$ を含む。 さらに、$r = 3^n - 3$で2項$F_r$を解析し、$n\ge 5$が奇数であればブーメラン均一性を持つ局所APNであることを証明し、文字和の評価によりそのブーメランスペクトルを完全に決定する。 以上の結果から,二項項の暗号特性に関する既存の研究を明確化し,拡張し,特徴量3$のブーメランの均一性が非常に低い二項項の分類を体系的に評価した。

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