論文の概要: On the Geometry of Separation in Finite Gaussian Mixtures

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.16179v1
• Date: Mon, 15 Jun 2026 03:49:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-16 16:21:34.063491
• Title: On the Geometry of Separation in Finite Gaussian Mixtures
• Title（参考訳）: 有限ガウス混合系の分離幾何学について
• Authors: Huy Nguyen, Dung Le, Alessandro Rinaldo, Nhat Ho,
• Abstract要約: 有限ガウス混合系のパラメータ推定の収束率に及ぼす最小成分分離の影響について検討した。 我々は、新しいヘリンガー下界に基づく統一的な幾何学的枠組みを開発する。 我々は、点次と一様推定法の間で連続的に補間される分離依存収束率を得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 93.28335398145147
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study an open problem of understanding the effects of the minimum component separation on the convergence rates of parameter estimation in finite Gaussian mixtures. We address this by developing a unified geometric framework based on novel Hellinger lower bounds that directly relate discrepancies between mixture densities directly to Wasserstein distances between their underlying mixing measures, with explicit dependence on both the minimum separation and the minimum weight. Our approach combines carefully designed interpolation polynomials with confluent divided difference techniques to construct specialized moment-extraction test functions. When the number of components is known, these bounds uncover a localization phenomenon: the separation complexity is driven strictly by the spatial configuration of mixture components, namely, whether they are concentrated in a single cluster, partitioned into multiple clusters separated by a macroscopic gap, or arranged without any structural constraints. On the other hand, when the number of components becomes unknown and is over-specified, the separation complexity is slightly reduced, while the minimum mixture weight disappears entirely from the convergence rates due to a transition from first-order to second-order Wasserstein geometry. As a consequence, we obtain separation-dependent convergence rates that continuously interpolate between point-wise and uniform estimation regimes, thereby settling the fundamental limits of parameter recovery in finite Gaussian mixtures.
• Abstract（参考訳）: 有限ガウス混合系のパラメータ推定の収束率に及ぼす最小成分分離の影響を理解するためのオープンな問題について検討する。 本研究は, 混合密度とワッサーシュタイン距離を直接関連付ける新しいヘリンジャー下界に基づく統一的幾何学的枠組みを, 最小分離と最小ウェイトの両方に明示的に依存する形で開発することによって, この問題に対処する。 提案手法は,厳密に設計された補間多項式と畳み込み差分法を組み合わせて,特殊モーメント抽出テスト関数を構築する。 分離複雑性は、混合成分の空間的構成によって厳密に駆動される、すなわち、単一のクラスタに集中しているか、マクロ的なギャップによって分離された複数のクラスタに分割されるか、構造的な制約なしに配置される。 一方、成分の数が未知になり過剰に特定されると、分離の複雑さはわずかに減少するが、最小混合重量は1次から2階のワッサーシュタイン幾何学への遷移によって収束速度から完全に消える。 その結果, 有限ガウス混合系におけるパラメータ回復の基本的な限界を定め, 点次と一様推定系の間で連続的に補間する分離依存収束率を得ることができた。

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