論文の概要: Spectrally Safe Neural Operator Warm-Starts for Large-Scale Newton Solvers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.21828v1
• Date: Sat, 20 Jun 2026 01:34:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-26 02:53:18.036812
• Title: Spectrally Safe Neural Operator Warm-Starts for Large-Scale Newton Solvers
• Title（参考訳）: 大規模ニュートン解法のためのスペクトル安全なニューラル演算子ウォームスター
• Authors: Jaemin Oh, Youngkyu Lee, Jerome Darbon, George Em Karniadakis,
• Abstract要約: ニューラル作用素は、離散ヤコビアンが不確定な初期状態を生成することができることを示す。 短いラベルのない微調整相はヤコビアンスペクトルを正定値に戻す。 これにより、非正規化作用素が失敗するフルローディング範囲に収束するウォームスタートされたニュートン法が提供される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.942002179090348
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators are increasingly used to warm-start Newton solvers for nonlinear PDEs, on the premise that a low test error places the initial guess inside the basin of attraction. We show that this premise is unreliable. An operator trained to the relative \(L^2\) error \(O(10^{-3})\) can still produce an initial state in which the discrete Jacobian is indefinite, because the mean-squared training controls error on average while leaving localized pointwise violations of the underlying physics. For a nearly incompressible hyperelasticity problem, we trace this to the predicted volume change: the operator disperses \(\mathrm{det} F\) well away from one, and the resulting Jacobian acquires negative eigenvalues even when the predicted field is visually indistinguishable from the reference. At a small scale, this is a nuisance; at a multi-million degree-of-freedom scale, it is disqualifying, since the conjugate gradient and other Krylov solvers needed for memory-feasible Newton steps assume a definite spectrum. We then show that a short, label-free fine-tuning phase -- penalizing the operator against the discrete energy, with no additional solution data -- shifts the Jacobian spectrum back to positive definite. Combined with an inexact outer loop, this gives a warm-started Newton method that converges across the full loading range where the unregularized operator fails, reaching up to 5.4\(\times\) wall-clock speedup over incremental continuation on a 3D problem with 6.4 million degrees of freedom.
• Abstract（参考訳）: ニューラル作用素は、低いテスト誤差でアトラクションの流域に最初の推測が配置されるという前提で、非線形PDEに対するニュートンソルバのウォームスタートにますます使われている。 この前提は信頼できない。 相対的な \(L^2\) 誤差 \(O(10^{-3})\ に訓練された作用素は、平均二乗トレーニングが基底物理学の局所的な点方向の違反を残しながら平均で誤差を制御するため、離散ジャコビアンが不確定な初期状態を生成することができる。 作用素は \(\mathrm{det} F\) をかなり遠くに分散し、結果として得られるヤコビアンは、予測された体が基準から視覚的に区別できない場合でも負の固有値を取得する。 数百万自由度スケールでは、メモリ実現可能なニュートンステップに必要な共役勾配と他のクリロフ解法が一定のスペクトルを仮定するため、不等式である。 すると、短いラベルのない微調整フェーズ -- 離散エネルギーに対して演算子を罰し、追加の解データなしで -- がジャコビアンスペクトルを正定値に戻すことを示す。 不正確な外ループと組み合わせることで、非正規化作用素が失敗する全負荷範囲に収束するウォームスタートニュートン法が得られ、最大5.4\(\times\)のウォールクロックスピードアップに達する。

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