論文の概要: Hodge Spectral Surrogates for Topology-Constrained Optimization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.25194v1
• Date: Tue, 23 Jun 2026 21:38:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-25 17:05:30.150001
• Title: Hodge Spectral Surrogates for Topology-Constrained Optimization
• Title（参考訳）: 位相制約最適化のためのホッジスペクトルサロゲート
• Authors: Satoshi Kanno, Yoshi-aki Shimada,
• Abstract要約: ホモロジー制約と低域スペクトルフィルタのホッジスペクトル緩和に基づく最適化のための微分可能なフレームワークを提案する。 ソフトグラフとソフトクリッド錯体から、グラフクリッド錯体とヴィエトリスを統一するホッジ・ラプラシアン型スペクトル緩和(英語版)を構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Topological information is widely used in data analysis, network design, and machine learning, and topological constraints naturally arise when optimizing or generating objects with prescribed homological structure. However, directly controlling Betti numbers and persistent homology is difficult because they are discrete and combinatorial. We propose a differentiable framework for topology-constrained optimization based on Hodge-spectral relaxations of homological constraints and low-pass spectral filters. From soft graphs and soft clique complexes, we construct Hodge-Laplacian-type spectral relaxations that unify graph clique complexes and Vietoris--Rips filtrations of point clouds. In the hard limit, the penalty-regularized ambient operator recovers the ordinary Hodge Laplacian on the active subcomplex, while in the soft regime it serves as a differentiable low-frequency spectral surrogate. Homological information is represented by zero and near-zero modes, and differentiable topological objectives are defined using heat filters, resolvent filters, and polynomial Laplacian moments. For point clouds, we show that the proposed Hodge spectral-filter losses yield more spatially distributed gradients, smoother scale-normalized behavior under persistence-pairing changes, and geometry-aware update directions than persistent-homology-based losses. For graph clique complexes, Laplacian moments control normalized first-Betti-type quantities and can be combined with ordinary graph-feature objectives. We also discuss connections to trace-based normalized Betti-number estimation, polynomial spectral methods, and possible quantum trace estimation.
• Abstract（参考訳）: トポロジ的情報は、データ解析、ネットワーク設計、機械学習に広く使われ、トポロジ的制約は、所定のホモロジー構造でオブジェクトを最適化または生成する際に自然に生じる。 しかしながら、ベッチ数と永続ホモロジーを直接制御することは、それらが離散的で組合せ的であるため困難である。 ホモロジー制約と低域スペクトルフィルタのホッジスペクトル緩和に基づく位相制約最適化のための微分可能なフレームワークを提案する。 ソフトグラフとソフトクリッド錯体から、グラフクリッド錯体とヴィエトリス-点雲のリプス濾過を統一するホッジ・ラプラシアン型スペクトル緩和を構築する。 ハードリミットでは、ペナルティ規則化された周囲作用素が活性部分錯体上の通常のホッジ・ラプラシアンを回復し、ソフトレジームでは低周波スペクトルサロゲートとして機能する。 ホモロジー情報はゼロモードとニアゼロモードで表され、熱フィルタ、リゾルベントフィルタ、多項式ラプラシアモーメントを用いて微分可能な位相目的が定義される。 点雲の場合,提案したHodgeスペクトルフィルタの損失は,空間分布の勾配,スムーズなスケール正規化挙動,および持続的ホモロジーに基づく損失よりも幾何的更新方向を示す。 グラフ傾斜複体の場合、ラプラシアモーメントは正規化された第一ベッチ型量を制御し、通常のグラフ特徴目的と組み合わせることができる。 また、トレースベースの正規化ベッチ数推定、多項式スペクトル法、量子トレース推定との接続についても論じる。

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