論文の概要: Compositional Dynamics in Learning and Mechanics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.28984v1
- Date: Sat, 27 Jun 2026 15:39:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-30 18:07:15.752811
- Title: Compositional Dynamics in Learning and Mechanics
- Title（参考訳）: 学習と力学における構成力学
- Abstract要約: 我々は、勾配に基づく学習とハミルトンスタイルの力学が関手意味論として現れる構成的設定を与える。
この論文の主な技術的結果は、任意の対称モノイド閉圏 C に付随するラックス対称モノイド函手レンズ(C)$to$C である*lens internalization* と呼ばれるものである。
Arrは操作されたダイアグラムなので、そのようなダイアグラムはネスト -- 小さなシステムからワイヤリングされた大きなシステム -- であり、各セマンティクスはその部分からファンクショナルにシステムのダイナミクスを組み立てます。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We give a single compositional setting in which gradient-based learning and Hamiltonian-style mechanics appear as functorial semantics. The syntax is an operad Arr whose objects are input-output interfaces (pairs of manifolds) and whose morphisms are *smooth adaptive arrangements*, which consist of a reactive parameter space, a lens given by smooth output and input maps, and a real-valued potential. The main technical result of the paper is what we call *lens internalization*, a lax symmetric monoidal functor Lens(C) $\to$ C associated to any symmetric monoidal closed category C. Using it, we provide two functors $Φ_\text{phase}$, $Φ_\text{conf}$: Arr $\to$ PC into the 2-category of polynomial coalgebras -- input-output discrete dynamical systems -- which we take as the semantics category. $Φ_\text{phase}$ stores both position and momentum, whereas $Φ_\text{conf}$ stores only position. When applied to a parameterized function, $Φ_\text{conf}$ recovers the gradient descent training algorithm, with backpropagation as the lens' backward pass. When applied to harmonic particles wired together -- in series, or according to any finite directed graph -- one diagram yields two different regimes, both of which are governed by the graph Laplacian: $Φ_\text{phase}$ gives the discrete wave equation, which is conservative and second-order, and $Φ_\text{conf}$ gives the discrete heat equation, which is dissipative and first-order. They are two semantics of one adaptive arrangement, e.g. with the same potential in each case. And because Arr is an operad, such diagrams nest -- larger systems wired from smaller ones -- and each semantics assembles a system's dynamics functorially from its parts. These dynamics are moreover executable: a parameterized neural network and a graph of particles both compile, by the same construction, to explicit state machines one can run.
- Abstract（参考訳）: 勾配に基づく学習とハミルトニアンスタイルの力学が関手意味論として現れるような単一の構成的設定を与える。
この構文は、オブジェクトが入力出力インターフェイス(多様体のペア)であり、射は*smooth Adaptive arrangements*であり、反応パラメータ空間、滑らかな出力と入力マップによって与えられるレンズ、および実数値ポテンシャルからなる操作されたArrである。
この論文の主な技術的成果は *lens internalization*, a lax symmetric monoidal functor Lens(C) $\to$ C associated to any symmetric monoidal closed category C. We provide two functors $\_\text{phase}$, $\_\text{conf}$: Arr $\to$ PC into the two-category of polynomial coalgebras -- input-output discrete dynamical systems -- which which as the semantics category. $s_\text{phase}$ store both position and momentum. $s_\text{conf}$ store only position. when applied to a parameterized function, $s_\text{conf}$ raises migration algorithm with back propagation as the wiredized lenss, according by any wireded by an field, and by all wired by an side-handed equations, and that are a second-orderal equation is that which is which is a second-secondal equation, $s $s$.
これらは1つの適応配置の2つの意味論であり、例えば、それぞれの場合において同じポテンシャルを持つ。
そして、Arrは操作されているので、そのようなダイアグラムはネスト -- 小さなシステムからワイヤリングされた大きなシステム -- であり、各セマンティクスはその部分からファンクショナルにシステムのダイナミクスを組み立てます。
パラメータ化されたニューラルネットワークと粒子のグラフはどちらも同じ構成でコンパイルされ、実行可能な明示的な状態マシンに実行されます。
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