論文の概要: Feature Learning for the High Dimensional Stationary Schödinger Equation with Deep Ritz Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.06369v1
• Date: Tue, 07 Jul 2026 15:06:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-08 21:24:51.56177
• Title: Feature Learning for the High Dimensional Stationary Schödinger Equation with Deep Ritz Method
• Title（参考訳）: ディープリッツ法による高次元定常シュディンガー方程式の特徴学習
• Abstract要約: 定常シュルディンガー方程式をノイマン境界条件で解くためのディープ・リッツ法の枠組みにおける特徴学習について検討する。 我々は、最小リッツエネルギーが、原項のそれに沿った特徴ベクトルで達成されることを示す。 2つのニューロンの場合、正規化されたリッツ損失の風景を研究し、第2の特徴がどのように出現するかを特徴付ける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.43542238634184
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper investigates feature learning within the framework of the deep Ritz method for solving the stationary Schrödinger equation with Neumann boundary conditions. We first analyze the convergence of Riemannian gradient descent in an agnostic setting, where the hypothesis function is restricted to a single-index model while the PDE solution is arbitrary. We prove that gradient descent reaches an approximate global minimum: after T = O(log(1/ε)) iterations, the loss is within εof a constant multiple of the optimal loss. We then examine the loss landscape when the source term of the PDE itself follows a single-index model, considering hypothesis functions given by either a single-index model or a two-neuron multi-index model. In the single-index case, we show that the minimum Ritz energy is attained at the feature vector aligned with that of the source term. In the two-neuron case, we study the landscape of regularized Ritz losses and characterize how a second feature emerges, given that the first feature is aligned with the source, as the regularization parameter varies. Finally, numerical experiments are presented to validate the feature emergence theory in the two-neuron setting.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ニューマン境界条件を用いた定常シュレーディンガー方程式の解法として,ディープ・リッツ法の枠組みにおける特徴学習について検討する。 まず、PDE解が任意である間、仮説関数は単インデックスモデルに制限されるような非依存的な環境でリーマン勾配降下の収束を解析する。 T = O(log(1/ε)) の反復の後、損失は最適損失の定数倍のε内にある。 次に、PDEのソース項が単一インデックスモデルに従うとき、単一インデックスモデルまたは2つのニューロンマルチインデックスモデルによって与えられる仮説関数を考慮する。 単インデックスの場合、最小リッツエネルギーは原項のそれに沿った特徴ベクトルで達成されることを示す。 2つのニューロンの場合、正規化されたリッツの損失の風景を調査し、正規化パラメータが変化するため、第1の特徴がソースに整列していることを考えると、第2の特徴がどのように出現するかを特徴付ける。 最後に、2つのニューロン設定における特徴発生理論を検証するための数値実験を行った。

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