論文の概要: Wasserstein gradient flows for Coulomb discrepancies

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.12579v1
• Date: Tue, 14 Jul 2026 09:49:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-16 16:39:12.512359
• Title: Wasserstein gradient flows for Coulomb discrepancies
• Title（参考訳）: クーロン不一致に対するワッサーシュタイン勾配流
• Abstract要約: 本研究では,2乗最大平均離散度(MMD)の勾配流の時間的挙動を,確率測度$$と目標測度$とで調べる。 まず、任意のボレル確率測度から始まる大域弱解の存在を確立し、超収縮的推定を証明した。 また、これらの解の正則性についても検討し、ハルダーノルムが時間内に指数関数的に増加することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: We study the long-time behavior of the Wasserstein gradient flow of the squared Maximum Mean Discrepancy (MMD) between a probability measure $ρ$ and a target measure $μ$, where the underlying kernel is given by a Coulomb potential. First, we establish the existence of global weak solutions starting from arbitrary Borel probability measures and prove an ultracontractive estimate, showing that the density $ρ_t$ becomes instantly bounded in $L^\infty$ for $t>0$. We also investigate the regularity of these solutions, showing that the Hölder norm can grow exponentially in time. Second, on the flat torus $\mathbb T^\mathsf{d}$, we prove exponential decay of the squared MMD along the flow toward a uniformly positive target $μ$, without requiring a lower bound on the initial data. This result is based on a ''defective Polyak-Lojasiewicz (PL) inequality'' whose defect term accounts for possible vacuum regions in the evolving density. We also prove that the usual PL inequality may fail when the target vanishes only at one point, and, in dimensions at least two, that no coercivity constant can depend only on a prescribed positive lower bound for the target. Finally, on $\mathbb R^\mathsf{d}$, we identify an obstruction at spatial infinity. For a compactly supported target, uniformly localized sources initially separated from the target by distance $D$ retain a fixed fraction of their initial squared MMD for times of order $D$. Consequently, neither a multiplicative squared-MMD decay modulus uniform over the initial datum nor a global PL inequality can hold on the unrestricted whole-space class. By contrast, under radial symmetry, source-support inclusion, and target-positivity assumptions, we establish a PL inequality and exponential convergence.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,2乗最大平均離散度(MMD)のワッサースタイン勾配流の時間的挙動を,確率測度$ρ$と目標測度$μ$で調べる。 まず、任意のボレル確率測度から始まる大域弱解の存在を確立し、超収縮的推定を証明し、密度$ρ_t$が$L^\infty$ for $t>0$で即時有界となることを示す。 また、これらの解の正則性についても検討し、ヘルダーノルムが時間内に指数関数的に増加することを示す。 第二に、平坦なトーラス $\mathbb T^\mathsf{d}$ では、初期データに下界を必要とせず、一様正の目標$μ$への流れに沿った正方形MDの指数的崩壊を証明している。 この結果は'defective Polyak-Lojasiewicz (PL) inequality' に基づいている。 また、通常のPL不等式は、目標が1点だけ消えるときに失敗する可能性があり、少なくとも2次元では、目標に対する所定の正の下限にのみ依存しない。 最後に、$\mathbb R^\mathsf{d}$ 上で、空間無限大における障害を特定する。 コンパクトに支持されたターゲットに対して、一様に局所化されたソースは、最初は距離$D$でターゲットから切り離され、初期2乗MDの固定分をオーダー$D$で保持する。 したがって、初期ダタム上の乗法的2乗MMD減衰率と大域PL不等式は、制限されない全空間クラスを保たない。 対照的に、放射対称性、源担持包含、および目標正の仮定の下では、PL不等式と指数収束を確立する。

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