論文の概要: Non-Asymptotic Variational Learning for Monotone Nonlinear Multiscale Elliptic Equations: Scale-Robust Primal-Dual Bounds and Strong-Form Statistical Ill-Conditioning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.15702v2
• Date: Wed, 22 Jul 2026 04:37:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-23 16:42:31.492821
• Title: Non-Asymptotic Variational Learning for Monotone Nonlinear Multiscale Elliptic Equations: Scale-Robust Primal-Dual Bounds and Strong-Form Statistical Ill-Conditioning
• Title（参考訳）: 単調非線形多スケール楕円方程式の非漸近変分学習:スケールローバスト原始境界と強形式統計的Ill-Conditioning
• Authors: Ronald Katende,
• Abstract要約: 我々は、一様非線形多スケール楕円型方程式の変分物理学インフォームド近似に対する非漸近近似、サンプリング、有限点最適化理論を開発した。 境界整合性ニューロ特徴クラスでは、集団誤差は近似、経験的四分法、投影的次数項に分けられ、全ての非近似定数は顕微鏡スケール(ヴァレプシロン)で均一である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We develop a non-asymptotic approximation, sampling, and finite-iteration optimization theory for variational physics-informed approximation of uniformly monotone nonlinear multiscale elliptic equations. For boundary-compatible neural feature classes, the population error splits into approximation, empirical quadrature, and projected-gradient terms, with all non-approximation constants uniform in the microscopic scale \(\varepsilon\). Assuming a quantitative corrected \(H^1\)-estimate, a two-scale state class yields \[ \mathcal A_m^\varepsilon \le C\bigl(\varepsilon+Φ_{0,m_0}^2+Φ_{1,m_1}^2\bigr) \] in arbitrary dimension. We further introduce a convex primal-dual physics loss whose population value is a computable upper certificate for the state error. With additional flux-corrector regularity, a divergence-compatible two-scale flux class gives a certified state-flux bound combining \(O(\varepsilon)\) approximation, state and flux feature errors, empirical sampling error, and an \(O(K^{-1})\) optimization term. In contrast, for general periodic nonlinear fluxes satisfying a natural nondegeneracy condition, the empirical Rademacher complexities of strong-residual and squared-residual classes are bounded below by constant multiples of \((\varepsilon\sqrt N)^{-1}\) and \((\varepsilon^2\sqrt N)^{-1}\), respectively. These optimizer-independent lower bounds hold in every spatial dimension. Numerical experiments confirm the predicted \(\varepsilon\)- and \(N\)-scalings for nonlinear fluxes in \(d=1,2,3\), validate every computed primal-dual certificate, and show that corrector-enriched classes substantially reduce energy and \(H^1\) errors as the microscopic scale is refined.
• Abstract（参考訳）: 我々は、一様単調非線形多スケール楕円型方程式の変分物理学インフォームド近似に対する非漸近近似、サンプリング、有限点最適化理論を開発した。 境界互換なニューラル特徴クラスでは、集団誤差は近似、経験的二次項、投影段階項に分けられ、全ての非近似定数は顕微鏡スケール \(\varepsilon\) に均一である。 定量的に補正された \(H^1\)-推定を仮定すると、2スケールの状態クラスは任意の次元で \[ \mathcal A_m^\varepsilon \le C\bigl(\varepsilon+\_{0,m_0}^2+\_{1,m_1}^2\bigr) \] を得る。 さらに、状態誤差の計算可能な上限値である凸原始双対物理損失を導入する。 さらなるフラックス-コレクタの正則性により、分岐互換の2スケールのフラックスクラスは、 \(O(\varepsilon)\)近似、状態とフラックスの特徴誤差、経験的サンプリング誤差、および \(O(K^{-1})\)最適化項を組み合わせた認定状態-フラックス境界を与える。 対照的に、自然な非退化条件を満たす一般的な周期的非線形束に対して、強残留類と正方形残基類の経験的ラデマッハ複素数は、それぞれ \((\varepsilon\sqrt N)^{-1}\) と \((\varepsilon^2\sqrt N)^{-1}\) の定数倍数で下界する。 これらのオプティマイザ非依存な下界は、すべての空間次元に保持される。 数値実験により, \(d=1,2,3\) における非線形フラックスに対する予測された \(\varepsilon\)-および \(N\)-スケーリングを確認し, 計算されたすべての原始双対証明を検証し, 微視的スケールが洗練されるにつれて, 補正器に富んだクラスがエネルギーと \(H^1\) 誤差を著しく減少させることを示した。

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