論文の概要: Riemannian Deep Learning: Modules, Networks, and Geometries

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.19305v2
• Date: Wed, 22 Jul 2026 21:13:10 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-24 14:12:06.743444
• Title: Riemannian Deep Learning: Modules, Networks, and Geometries
• Title（参考訳）: Riemannian Deep Learning - モジュール,ネットワーク,ジオメトリ
• Abstract要約: この論文は3つの相補的な視点からリーマンの深層学習のための統一的な枠組みを発展させている。 ユークリッド空間からリー群とジャイロ群の広いクラスへのバッチ正規化を一般化する。 また、双曲空間、ブセマンに基づく双曲学習、フルランク相関行列など、いくつかの重要な幾何学的表現のためのニューラルネットワークも開発している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Deep neural networks on manifold-valued representations have attracted growing interest, but many basic components remain tied to specific manifolds, rely on Euclidean approximations, or require costly and numerically fragile geometric operations. This thesis develops a unified framework for Riemannian deep learning from three complementary perspectives: reusable neural modules, manifold-specific network architectures, and the design of underlying geometries. It generalizes batch normalization from Euclidean spaces and individual manifolds to broad classes of Lie groups and gyrogroups, and extends multinomial logistic regression from Euclidean space to SPD manifolds and then to general Riemannian manifolds. It further develops neural networks for several important geometric representations, including an unconstrained model of hyperbolic space, Busemann-based hyperbolic learning, and full-rank correlation matrices. Finally, it introduces adaptive and computationally efficient Riemannian metrics on SPD manifolds, including learnable Log-Euclidean geometries and fast, stable Cholesky-based geometries. The proposed methods are supported by theoretical analysis and validated through numerical experiments and applications in vision, signal processing, graph learning, and genomics.
• Abstract（参考訳）: 多様体値表現上のディープニューラルネットワークは関心を集めているが、多くの基本成分は特定の多様体に結びついており、ユークリッド近似に依存している。 この論文は、再利用可能なニューラルモジュール、多様体固有のネットワークアーキテクチャ、基礎となるジオメトリの設計という3つの相補的な視点から、リーマンディープラーニングのための統一的なフレームワークを開発する。 ユークリッド空間と個々の多様体からのバッチ正規化をリー群とジャイロ群の広いクラスに一般化し、ユークリッド空間からSPD多様体へ多項ロジスティック回帰を拡張し、それから一般リーマン多様体へ拡張する。 さらに、双曲空間の非制約モデル、ブセマンに基づく双曲学習、フルランク相関行列など、いくつかの重要な幾何学的表現のためのニューラルネットワークを開発する。 最後に、学習可能な対数ユークリッド測地や高速で安定なチョレスキー測地を含む、SPD多様体上での適応的かつ計算的に効率的なリーマン測度を導入している。 提案手法は理論的解析によって支持され,数値実験および視覚,信号処理,グラフ学習,ゲノミクスの応用を通じて検証される。

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