論文の概要: Data-Driven Diffusion Processes on Differential Forms via the Projected Ambient Connection Laplacian
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.23192v1
- Date: Sat, 25 Jul 2026 13:14:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-28 22:34:15.011648
- Title: Data-Driven Diffusion Processes on Differential Forms via the Projected Ambient Connection Laplacian
- Title（参考訳）: 有向接続ラプラシアンによる微分形式上のデータ駆動拡散過程
- Abstract要約: 我々は、微分形式に作用する射影型周辺接続ラプラシアンのデータ駆動近似を開発する。
提案手法を単位球上の数値実験により検証する。
提案フレームワークはベクトル拡散マップを任意の次数の微分形式に自然に一般化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5729426778193398
- License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
- Abstract: We develop a data-driven approximation of the projected ambient connection Laplacian acting on differential forms over smooth Riemannian manifolds sampled by point clouds. The proposed construction extends the classical framework of diffusion maps and Vector Diffusion Maps from scalar functions and tangent vector fields to differential forms of arbitrary degree. Our approach is based on a novel representation of differential forms as alternating differential arrays obtained through an extension of the classical musical isomorphism. This representation enables the construction of a matrix-valued diffusion operator that approximates the projected ambient connection Laplacian directly from point cloud data without requiring a mesh or simplicial complex. The proposed discretization admits the asymptotically optimal kernel bandwidth scaling inherited from diffusion maps, leading to sharper convergence guarantees than previous data-driven approximations of the Hodge Laplacian. Building upon this operator, we derive a fully data-driven explicit Euler scheme for the heat equation on differential forms and validate the proposed methodology through numerical experiments on the unit sphere. The experiments confirm the predicted decay of the analytical solution and demonstrate the effectiveness of the proposed discretization. The proposed framework provides a natural generalization of Vector Diffusion Maps to differential forms of arbitrary degree and establishes a practical foundation for the numerical approximation of geometric partial differential equations directly from point cloud data.
- Abstract（参考訳）: 我々は、点雲でサンプリングされた滑らかなリーマン多様体上の微分形式に作用する射影型周辺接続ラプラシアンのデータ駆動近似を開発する。
提案された構成は、拡散写像の古典的な枠組みとベクトル拡散写像をスカラー関数や接ベクトル場から任意の次数の微分形式へと拡張する。
我々のアプローチは、古典的音楽同型の拡張によって得られる交互微分配列として微分形式の新しい表現に基づいている。
この表現は、メッシュや単純な複素数を必要とすることなく、点雲データから直接、投影された周囲接続ラプラシアンを近似する行列値拡散演算子の構築を可能にする。
提案した離散化は、拡散マップから受け継いだ漸近的に最適なカーネル帯域幅のスケーリングを認め、Hodge Laplacian の以前のデータ駆動近似よりもよりシャープな収束を保証する。
この演算子に基づいて、微分形式上の熱方程式の完全なデータ駆動型明示的オイラースキームを導出し、単位球上の数値実験により提案手法を検証した。
実験は解析解の予測崩壊を確認し、提案した離散化の有効性を実証した。
提案フレームワークはベクトル拡散マップを任意の次数の微分形式に自然に一般化し、点クラウドデータから直接幾何学的偏微分方程式の数値近似の実践的基礎を確立する。
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