論文の概要: Hodge Laplacians and Hodge Diffusion Maps

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.07910v1
• Date: Thu, 10 Apr 2025 16:30:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-11 12:19:53.213358
• Title: Hodge Laplacians and Hodge Diffusion Maps
• Title（参考訳）: ホッジラプラシアンとホッジ拡散写像
• Authors: Alvaro Almeida Gomez, Jorge Duque Franco,
• Abstract要約: 本稿では,高次元データセットから位相情報を解析・抽出する新しい多様体学習アルゴリズムであるHodge Diffusion Mapsを紹介する。 提案手法は,ホッジ・ラプラシアンを用いて低次元ユークリッド空間に投影することで,データセットの高次位相的特徴を捉える。 実多様体上に分布するサンプル点に基づいて,外微分の近似誤差を推定する理論的枠組みを開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We introduce Hodge Diffusion Maps, a novel manifold learning algorithm designed to analyze and extract topological information from high-dimensional data-sets. This method approximates the exterior derivative acting on differential forms, thereby providing an approximation of the Hodge Laplacian operator. Hodge Diffusion Maps extend existing non-linear dimensionality reduction techniques, including vector diffusion maps, as well as the theories behind diffusion maps and Laplacian Eigenmaps. Our approach captures higher-order topological features of the data-set by projecting it into lower-dimensional Euclidean spaces using the Hodge Laplacian. We develop a theoretical framework to estimate the approximation error of the exterior derivative, based on sample points distributed over a real manifold. Numerical experiments support and validate the proposed methodology.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元データセットから位相情報を解析・抽出する新しい多様体学習アルゴリズムであるHodge Diffusion Mapsを紹介する。 この方法は微分形式に作用する外部微分を近似し、したがってホッジラプラシア作用素の近似を与える。 ホッジ拡散写像は、ベクトル拡散写像やラプラシア固有写像の背後にある理論を含め、既存の非線型次元減少法を拡張している。 提案手法は,ホッジ・ラプラシアンを用いて低次元ユークリッド空間に投影することで,データセットの高次位相的特徴を捉える。 実多様体上に分布するサンプル点に基づいて,外微分の近似誤差を推定する理論的枠組みを開発する。 数値実験は提案手法の支持と検証を行う。

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