論文の概要: Elliptic Regularity Theory in Barron Spaces and Applications to the Deep Ritz Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.25100v1
• Date: Mon, 27 Jul 2026 21:58:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-29 20:50:42.637812
• Title: Elliptic Regularity Theory in Barron Spaces and Applications to the Deep Ritz Method
• Title（参考訳）: バロン空間における楕円規則性理論とディープリッツ法への応用
• Authors: Stephan Wojtowytsch,
• Abstract要約: バロン空間におけるディリクレ境界データを持つ調和函数は、一般にリプシッツ連続でもソボレフ級数$H2$でもない。 この正則性理論の応用として、ディープ・リッツ・ニューラルPDE解法に対する事前誤差推定を求める。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.539612914031485
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We prove that harmonic functions with Dirichlet boundary data in Barron space, a function class tailored to wide ReLU networks with a single hidden layer and suitably bounded weights, are generally neither Lipschitz continuous nor in the Sobolev class $H^2$. A fortiori, they are not in any function class in which the norm controls the Lipschitz constant, which rules out not only Barron space regularity, but also regularity in function classes for deeper ReLU networks with bounded coefficients. They can, however, be approximated to accuracy $\sim \varepsilon$ by Barron functions of low norm $\sim |\log\varepsilon|$ in various Lebesgue and Sobolev norms (with at most two derivatives). The positive result holds on very simple domains: Half-spaces in arbitrary dimension and rectangular domains in two dimensions. As an application of this regularity theory, we obtain a priori error estimates for Deep Ritz neural PDE solvers.
• Abstract（参考訳）: バロン空間におけるディリクレ境界データを持つ調和函数は、単一の隠蔽層と適当な有界重みを持つ広いReLUネットワークに適した関数クラスであり、一般にリプシッツ連続でもソボレフクラス$H^2$でもない。 これはバロン空間の正則性だけでなく、有界係数を持つより深いReLUネットワークに対する関数クラスにおける正則性も規定するものである。 しかし、これらは様々なルベーグノルムとソボレフノルムにおけるローノルム $\sim |\log\varepsilon|$ のバロン函数による精度 $\sim \varepsilon$ に近似することができる(少なくとも2つの微分を持つ)。 正の結果は非常に単純な領域が成り立つ: 任意の次元の半空間と2次元の矩形領域である。 この正則性理論の応用として、ディープ・リッツ・ニューラルPDE解法に対する事前誤差推定を求める。

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