論文の概要: A New Characteristic-Uniform Model for Elliptic Curves -- Theory, Arithmetic, and Applications

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.01675v4
• Date: Mon, 10 Aug 2026 15:56:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-12 19:14:45.72135
• Title: A New Characteristic-Uniform Model for Elliptic Curves -- Theory, Arithmetic, and Applications
• Title（参考訳）: 楕円曲線の新たな一様モデル -理論, 算術, とその応用-
• Abstract要約: 数学的な C_d:quad (u2+u)(v2+v)=d に対する特性一様算術理論を開発する。 d(1-16d)ne0 の場合、滑らかな (2,2)-補完は、4つの有理境界点(mathbb Z/4mathbb Z)、(D_8)-作用、逆 (-(u,v)=(u,-v-1))、およびネイティブな Kummer 写像 (_) を持つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a characteristic-uniform arithmetic theory for \[ \mathcal C_d:\quad (u^2+u)(v^2+v)=d. \] For \(d(1-16d)\ne0\), its smooth \((2,2)\)-completion has four rational boundary points forming \(\mathbb Z/4\mathbb Z\), an intrinsic \(D_8\)-action, the inverse \(-(u,v)=(u,-v-1)\), and the native Kummer map \(κ_d(u,v)=(u+1)\). Working natively, we derive complete full-point and differential laws, Kummer ladders and recovery, halving, tripling, \(2P+Q\), division polynomials, isogenies, CM endomorphisms, and pairings, with dedicated formulas in characteristics two and three. Classical models provide proof and optimization dictionaries while all endpoints remain native. For Cd25519, the Kummer line is exactly the X25519 line, and a native Segre recoding realizes the optimized complete \(a=-1\) Edwards full-point dependency graph. We further study \[ \begin{gathered} \mathcal C_{a,b,d}:(u^2+u+a)(v^2+v+b)=d,\quad \mathcal T_{a,d}:(u^2+u+a)(v^2+v)=d,\\ \mathcal R_{τ,σ,κ}:(x^2-τ)(y^2-σ)=κxy,\quad \mathcal Q_{α,β,γ}:x^2y^2+α(x^2+y^2)+βxy+γ=0. \end{gathered} \] For these product, one-sided twisted, reciprocal, and QRT families, we determine their genus-one geometry, finite-field forms, arithmetic, and isogenies. On each smooth QRT fibre, the Vieta--McMillan map is a fixed elliptic translation. Marking \(D\) gives the state \(P\mapsto(κ(P),κ(P+D))\), with maps realizing \(n\mapsto mn+r\). This yields logarithmic ladders and an elliptic Lucas calculus with nonlinear addition, fast-index doubling, state-division polynomials, and bridges to elliptic divisibility sequences, sigma functions, and elliptic nets. In characteristic two, every ordinary pointed elliptic curve over a perfect field admits the binary state model.
• Abstract（参考訳）: 我々は \[ \mathcal C_d:\quad (u^2+u)(v^2+v)=d に対する特性一様算術理論を開発する。 \] \(d(1-16d)\ne0\) に対し、その滑らかな \((2,2)\)-完備化は、(\mathbb Z/4\mathbb Z\)-作用、(D_8\)-作用、逆 \(-(u,v)=(u,-v-1)\)、および(κ_d(u,v)=(u+1)\) の4つの有理境界点を持つ。 自然に働くと、完全完全点法則と微分法則、クンマーのはしごとリカバリ、半分、三つ組、(2P+Q)、分割多項式、等質、CM自己同型、ペアリングが導出され、特徴 2 と 3 に専用公式が与えられる。 古典的なモデルは証明と最適化辞書を提供し、すべてのエンドポイントはネイティブのままである。 Cd25519の場合、クンマー線はまさにX25519線であり、ネイティブのセグレ符号は最適化された完全 \(a=-1\) Edwards のフルポイント依存グラフを実現する。 さらに \[ \begin{gathered} \mathcal C_{a,b,d}:(u^2+u+a)(v^2+v+b)=d,\quad \mathcal T_{a,d}:(u^2+u+a)(v^2+v)=d,\\ \mathcal R_{τ,σ,κ}:(x^2-τ)(y^2-σ)=κxy,\quad \mathcal Q_{α,β,γ}:x^2y^2+α(x^2+y^2)+βxy+γ=0。 \end{gathered} \] これらの積に対して、片側ツイスト、逆、およびQRT族は、それらの種数 1 の幾何、有限体形式、算術、等元を決定する。 各滑らかな QRT ファイバー上では、Vieta--McMillan 写像は固定楕円変換である。 マーキング \(D\) は状態 \(P\mapsto(κ(P),κ(P+D))\) を与え、写像は \(n\mapsto mn+r\) を実現する。 これにより、非線形加算、高速インデックス倍数、状態分割多項式、楕円可視列、シグマ関数、楕円ネットへのブリッジを持つ対数的はしごと楕円型ルーカス計算が得られる。 標数 2 では、完全体上のすべての通常の点楕円曲線は二進状態モデルを認める。

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