論文の概要: Walk-on-Spheres Monte Carlo and deep neural network approximations of elliptic PDEs with drift and killing
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.09494v1
- Date: Mon, 10 Aug 2026 12:01:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-11 19:16:37.248895
- Title: Walk-on-Spheres Monte Carlo and deep neural network approximations of elliptic PDEs with drift and killing
- Title（参考訳）: ウォーク・オン・スフェース・モンテカルロとドリフト・殺人を伴う楕円型PDEのディープニューラルネットワーク近似
- Abstract要約: 我々は,定数拡散,ドリフト,キラーを含む楕円偏微分方程式に対するモンテカルロおよびディープニューラルネットワーク近似を提供する。
本稿では, 逆精度と問題次元の両方において, 最大でアルゴリズム的に増大するサンプル複素量を用いて, 所定の近似精度を実現することを示す。
これらの結果は、以前の複雑性解析を、漂流と死を含む楕円型方程式のより広範なクラスに拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this paper we provide Monte Carlo and deep neural network approximations for stochastic representations of solutions to linear elliptic partial differential equations with constant diffusion, drift and killing. Building on the modified Walk-on-Spheres algorithm of Beznea et al. (arXiv:2209.01432), we introduce Monte Carlo estimators that explicitly incorporate sampled random times arising in the analyzed stochastic representations. We establish uniform error bounds for these estimators and show that, under suitable assumptions, a prescribed approximation accuracy is achieved with sample complexities growing at most polynomially in both the inverse accuracy and the problem dimension. Furthermore, we prove a deep neural network approximation result for the stochastic representations. Assuming suitable neural network representations of the boundary data and the distance function to the boundary, we use the constructed Monte Carlo to design deep neural networks that approximate the representation uniformly with a number of parameters growing at most polynomially in the inverse accuracy and the problem dimension. These results extend previous complexity analyses to a broader class of elliptic equations involving drift and killing.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,定数拡散,ドリフト,キラーを含む線形楕円偏微分方程式に対する解の確率的表現に対するモンテカルロおよびディープニューラルネットワーク近似について述べる。
Beznea et al (arXiv:2209.01432) の修正されたウォーク・オン・スフェースアルゴリズムに基づいて、解析された確率表現に生じるサンプルランダム時間を明確に組み込むモンテカルロ推定器を導入する。
これらの推定器の均一な誤差境界を確立し、適切な仮定の下では、逆精度と問題次元の両方において、最も多項式的に増大するサンプル複素数によって所定の近似精度が達成されることを示す。
さらに,確率的表現に対するディープニューラルネットワーク近似結果を示す。
境界データの適切なニューラルネットワーク表現と境界への距離関数を仮定すると、構築されたモンテカルロを用いて、その表現を逆精度と問題次元において最も多項式的に増加する多くのパラメータと均一に近似するディープニューラルネットワークを設計する。
これらの結果は、以前の複雑性解析を、漂流と死を含む楕円型方程式のより広範なクラスに拡張する。
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