論文の概要: Chaos into Order: Neural Framework for Expected Value Estimation of Stochastic Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.03670v2
• Date: Mon, 11 Aug 2025 10:30:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-12 16:55:51.768385
• Title: Chaos into Order: Neural Framework for Expected Value Estimation of Stochastic Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: Chaos into Order:確率的部分微分方程式の期待値推定のためのニューラルネットワークフレームワーク
• Authors: Ísak Pétursson, María Óskarsdóttir,
• Abstract要約: 線形偏微分方程式(SPDE)の期待値を近似する物理インフォームドニューラルネットワークを提案する。 トレーニング中の時空座標とノイズ実現の両方のランダムサンプリングを活用することで、LECは標準フィードフォワードニューラルネットワークをトレーニングし、複数のサンプル間での残留損失を最小限に抑える。 このモデルでは, より低次元における解の期待値の正確な近似を常に学習し, 空間次元の増加に伴うロバスト性低下を予測可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9944647907864256
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Stochastic partial differential equations (SPDEs) describe the evolution of random processes over space and time, but their solutions are often analytically intractable and computationally expensive to estimate. In this paper, we propose the Learned Expectation Collapser (LEC), a physics-informed neural framework designed to approximate the expected value of linear SPDE solutions without requiring domain discretization. By leveraging randomized sampling of both space-time coordinates and noise realizations during training, LEC trains standard feedforward neural networks to minimize residual loss across multiple stochastic samples. We hypothesize and empirically confirm that this training regime drives the network to converge toward the expected value of the solution of the SPDE. Using the stochastic heat equation as a testbed, we evaluate performance across a diverse set of 144 experimental configurations that span multiple spatial dimensions, noise models, and forcing functions. The results show that the model consistently learns accurate approximations of the expected value of the solution in lower dimensions and a predictable decrease in accuracy with increased spatial dimensions, with improved stability and robustness under increased Monte Carlo sampling. Our findings offer new insight into how neural networks implicitly learn statistical structure from stochastic differential operators and suggest a pathway toward scalable, simulator-free SPDE solvers.
• Abstract（参考訳）: 確率偏微分方程式(Stochastic partial differential equation、SPDE)は、空間と時間のランダムな過程の進化を記述しているが、その解はしばしば解析的に抽出可能であり、計算的に見積もるのにコストがかかる。 本稿では,線形SPDEソリューションの期待値を,ドメインの離散化を必要とせずに近似する物理インフォームド・ニューラル・フレームワークであるLearted expectation Collapser (LEC)を提案する。 トレーニング中の時空座標とノイズ実現の両方のランダムサンプリングを活用することで、LECは標準的なフィードフォワードニューラルネットワークをトレーニングし、複数の確率的なサンプル間の残留損失を最小限に抑える。 我々は、このトレーニング体制がSPDEのソリューションの期待値に向かってネットワークを収束させることを仮定し、実証的に確認する。 確率的熱方程式をテストベッドとして、複数の空間次元、ノイズモデル、強制関数にまたがる144の実験的な構成の多種多様な集合の性能を評価する。 この結果から, モンテカルロサンプリング法において, 低次元における解の期待値の正確な近似と, 空間次元の増大による予測可能な精度低下を連続的に学習し, 安定性とロバスト性の向上を図った。 我々の発見は、ニューラルネットワークが確率微分演算子から統計的構造を暗黙的に学習する方法に関する新たな洞察を与え、スケーラブルでシミュレータフリーなSPDEソルバへの道筋を示唆している。

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