論文の概要: Convergence proofs and strong error bounds for forward-backward stochastic differential equations using neural network simulations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.01306v2
• Date: Sun, 16 Feb 2025 09:45:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-18 14:02:43.023899
• Title: Convergence proofs and strong error bounds for forward-backward stochastic differential equations using neural network simulations
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークシミュレーションを用いた前方確率微分方程式の収束証明と強誤差境界
• Authors: Oliver Sheridan-Methven,
• Abstract要約: 我々は、これらの解と偏微分方程式の解との接続を強調する前方微分方程式を導入する。 本稿では,ニューラルネットワークを用いた高次元偏微分方程式の近似解法と,マルチレベルモンテカルロを用いた微分方程式の近似解について概説する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We introduce forward-backward stochastic differential equations, highlighting the connection between solutions of these and solutions of partial differential equations, related by the Feynman-Kac theorem. We review the technique of approximating solutions to high dimensional partial differential equations using neural networks, and similarly approximating solutions of stochastic differential equations using multilevel Monte Carlo. Connecting the multilevel Monte Carlo method with the neural network framework using the setup established by E et al. and Raissi, we provide novel numerical analyses to produce strong error bounds for the specific framework of Raissi. Our results bound the overall strong error in terms of the maximum of the discretisation error and the neural network's approximation error. Our analyses are necessary for applications of multilevel Monte Carlo, for which we propose suitable frameworks to exploit the variance structures of the multilevel estimators we elucidate. Also, focusing on the loss function advocated by Raissi, we expose the limitations of this, highlighting and quantifying its bias and variance. Lastly, we propose various avenues of further research which we anticipate should offer significant insight and speed improvements.
• Abstract（参考訳）: フォワード・バックワード確率微分方程式を導入し、これらの解と偏微分方程式の解の関連を、ファインマン・カックの定理に関連付ける。 本稿では,ニューラルネットワークを用いた高次元偏微分方程式の近似解法と,マルチレベルモンテカルロを用いた確率微分方程式の近似解について概説する。 E et al と Raissi の確立したセットアップを用いて,マルチレベルモンテカルロ法をニューラルネットワークフレームワークに接続することにより,Raissi の特定のフレームワークに対して強い誤差境界を生成するための新しい数値解析を行う。 我々の結果は、離散化誤差とニューラルネットワークの近似誤差の最大値の観点から、全体的な強い誤差を束縛した。 マルチレベルモンテカルロの応用には分析が不可欠であり, 解明したマルチレベル推定器の分散構造を利用するための適切なフレームワークを提案する。 また,Raissi が提唱する損失関数に着目し,その限界を明らかにし,バイアスと分散の定量化を行う。 最後に、我々はさらなる研究の様々な道程を提案し、さらなる洞察とスピードの改善を期待する。

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