論文の概要: Riemann GeoResolver: A Non-Euclidean Attention Framework from Euclidean Resolver to Hyperbolic-Spherical Geometry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.10416v1
- Date: Tue, 11 Aug 2026 03:05:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-12 19:14:45.885249
- Title: Riemann GeoResolver: A Non-Euclidean Attention Framework from Euclidean Resolver to Hyperbolic-Spherical Geometry
- Title（参考訳）: Riemann GeoResolver: Euclidean ResolverからHyperbolic-Spherical Geometryへの非ユークリッド注意フレームワーク
- Abstract要約: 我々は、ユークリッドプロトタイプ(Resolver)から非ユークリッド実現(Riemann GeoResolver)まで、逆距離注意の理論的基礎を提示する。
非ユークリッド拡大はこのプロトタイプの上に構築され、ユークリッド距離を蓄えるための双曲測地距離とルーティングのための球面測地距離に置き換える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: We present a theoretical foundation for inverse-distance attention, from its Euclidean prototype (Resolver) to its non-Euclidean realization (Riemann GeoResolver). The Euclidean part establishes three core theorems: (1) circuit separation---IDA achieves exact retrieval with $\mathcal{O}(1)$ resources while softmax requires $Ω((\log n)^2)$ width; (2) a Polyak--Lojasiewicz inequality with $Ω(e^{Δ^2/\sqrt{d}}/Δ^2)$ stronger constant than softmax, implying linear convergence, $\mathcal{O}(\log n)$ Lipschitz scaling under a low-rank/clustering assumption, $Θ(1)$ Hessian spread, and absence of spurious local minima; (3) a width-independent effective rank bound that limits noise memorization---softmax memorizes arbitrary labels when $d_h\ge n$, while IDA limits test error to $\mathcal{O}(η^2)$. The non-Euclidean extension then builds upon this prototype, replacing Euclidean distance with hyperbolic geodesic distance for storage and spherical geodesic distance for routing. The Riemann GeoResolver framework comprises ten integrated modules: four HIDA operators spanning $Θ(n^2)$ to $Θ(1)$ per token; Hyperbolic Curvature Compression (HCC) with provable error bounds; HyperGate with gradient lower-bound theorem; Spherical Inverse Distance Attention (SIDA) with sphere-analog PL inequalities; Dynamic Memory Genesis (DMG) with $\mathcal{O}(\log T)$ regret bounds; and Geodesic Sparse Routing (GSR) with quality and communication bounds. The Euclidean theorems are proved in full; the non-Euclidean extension theorems are proved with analogous arguments. This work establishes a theoretical arc: from Euclidean attention as a special case, to hyperbolic memory, to spherical retrieval.
- Abstract（参考訳）: 我々は、ユークリッドプロトタイプ(Resolver)から非ユークリッド実現(Riemann GeoResolver)まで、逆距離の注意の理論的基礎を示す。
1) 回路分離--IDAは$\mathcal{O}(1)$リソースで正確な検索を達成し、(2) ソフトマックスは$Ω((\log n)^2)$幅; (2) ポリアック-ロジャシエヴィチの不等式は$Ω(e^{Δ^2/\sqrt{d}}/Δ^2)$ソフトマックスよりも強い定数、線型収束を示唆する$\mathcal{O}(\log n)$リプシッツは低ランク/クラスタリングの仮定の下でスケーリングする$\mathcal{O}(\log n)$リプシッツは$1$Hesianスプレッドとスプリアス局所ミニマが存在しない。
非ユークリッド拡大はこのプロトタイプの上に構築され、ユークリッド距離を蓄えるための双曲測地距離とルーティングのための球面測地距離に置き換えた。
Riemann GeoResolver フレームワークは10個の統合モジュールで構成されており、トークン当たりの HIDA 演算子4つ、証明可能なエラーバウンドを持つHyperbolic Curvature Compression (HCC)、勾配の低いバウンド定理を持つHyperGate、球面アナローPL不等式を持つSpherical Inverse Distance Attention (SIDA)、$\mathcal{O}(\log T)$ regret bounds を持つDynamic Memory Genesis (DMG)、品質と通信バウンドを持つGeodesic Sparse Routing (GSR) である。
ユークリッドの定理は完全であることが証明され、非ユークリッドの拡張定理は類似の引数で証明される。
この研究は、ユークリッドの特別な場合から双曲記憶、球面検索まで、理論的なアークを確立している。
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