論文の概要: Quotient Geometry and Persistence-Stable Metrics for Swarm Configurations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.18041v1
- Date: Sat, 14 Mar 2026 21:47:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-20 17:19:05.714333
- Title: Quotient Geometry and Persistence-Stable Metrics for Swarm Configurations
- Title（参考訳）: Swarm Configuration のためのクオリティ幾何と永続安定度
- Authors: Mark M. Bailey,
- Abstract要約: 群と星座再構成は、周囲空間における無秩序な点構成の運動と見なすことができる。
マルチエージェント構成データの比較とモニタリングを行うために、永続安定な対称性不変幾何表現を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: Swarm and constellation reconfiguration can be viewed as motion of an unordered point configuration in an ambient space. Here, we provide persistence-stable, symmetry-invariant geometric representations for comparing and monitoring multi-agent configuration data. We introduce a quotient formation space $\mathcal{S}_n(M,G)=M^n/(G\times S_n)$ and a formation matching metric $d_{M,G}$ obtained by optimizing a worst-case assignment error over ambient symmetries $g\in G$ and relabelings $σ\in S_n$. This metric is a structured, physically interpretable relaxation of Gromov--Hausdorff distance: the induced inter-agent metric spaces satisfy $d_{\mathrm{GH}}(X_x,X_y)\le d_{M,G}([x],[y])$. Composing this bound with stability of Vietoris--Rips persistence yields $d_B(Φ_k([x]),Φ_k([y]))\le d_{M,G}([x],[y])$, providing persistence-stable signatures for reconfiguration monitoring. We analyze the metric geometry of $(\mathcal{S}_n(M,G),d_{M,G})$: under compactness/completeness assumptions on $M$ and compact $G$ it is compact/complete and the metric induces the quotient topology; if $M$ is geodesic then the quotient is geodesic and exhibits stratified singularities along collision and symmetry strata, relating it to classical configuration spaces. We study expressivity of the signatures, identifying symmetry-mismatch and persistence-compression mechanisms for non-injectivity. Finally, in a phase-circle model we prove a conditional inverse theorem: under semicircle support and a gap-labeling margin, the $H_0$ signature is locally bi-Lipschitz to $d_{M,G}$ up to an explicit factor, yielding two-sided control. Examples on $\mathbb{S}^2$ and $\mathbb{T}^m$ illustrate satellite-constellation and formation settings.
- Abstract（参考訳）: 群と星座再構成は、周囲空間における無秩序な点構成の運動と見なすことができる。
ここでは、マルチエージェント構成データの比較と監視を行うために、永続安定な対称性不変な幾何表現を提供する。
商形成空間 $\mathcal{S}_n(M,G)=M^n/(G\times S_n)$ と構成マッチング計量 $d_{M,G}$ を導入する。
この計量はグロモフ-ハウスドルフ距離の構造的、物理的に解釈可能な緩和であり、誘導されたエージェント間距離空間は$d_{\mathrm{GH}}(X_x,X_y)\le d_{M,G}([x],[y])$を満たす。
この境界をVietorisの安定性と組み合わせると、-Ripsの永続性は$d_B(\_k([x]),\_k([y]))\le d_{M,G}([x],[y])$となり、再設定監視のための永続安定シグネチャを提供する。
我々は、$(\mathcal{S}_n(M,G,d_{M,G})$の計量幾何学を解析する:$M$ 上のコンパクト性/完全性仮定の下で、$G$ はコンパクトかつ完全であり、計量は商位相を誘導する。
非注入性に対する対称性ミスマッチと持続圧縮機構を同定し,シグネチャの表現性について検討した。
最後に、位相-円モデルにおいて条件付き逆定理を証明し、半円の支持とギャップ-ラベル付きマージンの下では、$H_0$シグネチャは局所的に2-Lipschitz から$d_{M,G}$ までの明示的な因子に変換され、二辺制御をもたらす。
$\mathbb{S}^2$ および $\mathbb{T}^m$ の例は、衛星の星形成と形成の設定を説明する。
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