Fugu-MT 論文翻訳(概要): Exponential Convex Calibration Dimension for the Multi-Label Jaccard Measure

論文の概要: Exponential Convex Calibration Dimension for the Multi-Label Jaccard Measure

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.13549v1
Date: Thu, 13 Aug 2026 17:59:17 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-08-14 18:29:38.63687
Title: Exponential Convex Calibration Dimension for the Multi-Label Jaccard Measure
Title（参考訳）: マルチラベルジャカード測定のための指数凸校正法
Abstract要約: ジャカードスコア,シフトロス,通常の損失行列は非特異であり,損失列のアフィン次元が2s-1$であることを証明する。また、2次元近似保証を明示的な後悔の伝達で与える。
参考スコア（独自算出の注目度）: 12.752262012085419
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: The per-instance Jaccard score, or intersection over union (IoU), is standard in multi-label classification and binary segmentation. With $s$ labels, its loss matrix has $2^s$ outcomes and reports. Under the convention $\mathrm{Jac}(\varnothing,\varnothing)=1$, we prove that the Jaccard score, shifted-loss, and ordinary loss matrices are nonsingular and that the loss columns have affine dimension $2^s-1$. The proof combines a finite MinHash Gram representation with Boolean Möbius inversion. For exact calibration, we prove $2^{s-1} \leq \mathrm{CCdim}(L^{\mathrm{Jac}}) \leq 2^s-1$. The lower bound uses a factorially weighted distribution with $2^{s-1}+1$ supported outcomes and Bayes-optimal reports. Consequently, every exactly calibrated convex surrogate requires exponentially many prediction coordinates. We also give two polynomial-dimensional approximation guarantees with explicit regret transfers. A new $F_1$-to-Jaccard transfer turns an existing $(s^2+1)$-dimensional $F_1$ surrogate into a polynomial-time rule with asymptotic Jaccard regret at most $3-2\sqrt{2}$. For any $α>0$ and $0<ρ<1$, a MinHash square-loss surrogate attains Jaccard-regret floor $α$ uniformly over arbitrary conditional label distributions. With probability at least $1-ρ$, the direct construction has dimension $O((s^2+s\log(1/ρ))/α^2)$, while a signed variant has dimension $O((s+\log(1/ρ))/α^2)$. Thus zero-regret calibration requires exponential dimension, whereas every fixed additive regret tolerance admits polynomial prediction dimension.
Abstract（参考訳）: インスタンス毎ジャカードスコア(英: Per-instance Jaccard score, IoU)は、マルチラベル分類とバイナリセグメンテーションにおいて標準である。ラベルが$s$の場合、損失行列は$2^s$の結果とレポートを持つ。規則$\mathrm{Jac}(\varnothing,\varnothing)=1$ では、ジャカードのスコア、シフトロス、通常の損失行列は非特異であり、損失列はアフィン次元が 2^s-1$ であることを証明する。この証明は、有限ミンハッシュのグラム表現とブール・メビウスの反転を組み合わせたものである。正確なキャリブレーションについては、 2^{s-1} \leq \mathrm{CCdim}(L^{\mathrm{Jac}}) \leq 2^s-1$ を証明する。下限は2^{s-1}+1$サポートされた結果とベイズ最適化レポートによる因子重み付き分布を用いる。したがって、正確に校正された凸代理はすべて指数関数的に多くの予測座標を必要とする。また、2つの多項式次元近似保証を明示的後悔移動で与える。新しい$F_1$-to-Jaccard 変換は、既存の$(s^2+1)$-次元 $F_1$ を多項式時間規則に変換し、漸近的ジャカードの後悔を少なくとも3-2\sqrt{2}$とする。任意の$α>0$ および $0<ρ<1$ に対して、MinHash 平方ロスサロゲートは任意の条件ラベル分布に対して Jaccard-regret floor $α$ を得る。少なくとも1-ρ$の確率では、直接構成は次元$O((s^2+s\log(1/ρ))/α^2)$であり、符号付き変種は次元$O((s+\log(1/ρ))/α^2)$である。したがって、ゼロ回帰キャリブレーションは指数次元を必要とするが、任意の固定加法的反則は多項式予測次元を許容する。

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