論文の概要: Schatten norms and determinants of linear combinations of matrix tensor powers via virtual representations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.04341v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 18:08:23 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-07 18:15:23.77715
- Title: Schatten norms and determinants of linear combinations of matrix tensor powers via virtual representations
- Title（参考訳）: 仮想表現による行列テンソルパワーの線型結合のシャッテンノルムと行列式
- Abstract要約: X_n$ の行列式やシャッテン的ノルムの直接決定式は $n$ で指数関数的である。
固定された$d$と$s$に対して、$|X_n|_p$, $0pin$, and determinants in time。
$d=3$の場合、各既約コントリビューションは、明示的に計算可能な2つの対称パワー項の違いに還元され、オープンソース実装に繋がる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8594140167290097
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Let $$X_n=\sum_{i=1}^s t_i A_i^{\otimes n},$$ where $A_1,\ldots,A_s\in M_d(\mathbb C)$ and $t_1,\ldots,t_s\in\mathbb C$ are fixed, while $n$ grows. Direct computation of determinants or Schatten norms of $X_n$ is exponential in $n$. For a single tensor power these quantities are elementary, and even the determinant of a generic two-term combination admits a reduction to polynomially many scalar factors; however, no analogous elementary reduction is available for three or more terms. We give an exact representation-theoretic method which, for fixed $d$ and $s$, computes $\|X_n\|_p$, $0<p<\infty$, and determinants in polynomial time in $n$. Schur--Weyl duality yields a simultaneous block decomposition, while Jacobi--Trudi identities in the Grothendieck ring replace Schur modules by signed combinations of tensor products of symmetric powers. For $d=3$, each irreducible contribution reduces to the difference of two explicitly computable symmetric-power terms, leading to an open-source implementation. In a single-thread CPU benchmark, a genuine three-term $3\times3$ trace-norm problem with $n=18$ is evaluated in about $47$ seconds, whereas just storing the unreduced matrix would require approximately $2.4\times10^{18}$ bytes. Direct and reduced computations agree to relative error below $3.4\times10^{-15}$ throughout their common range $n\leq9$.
- Abstract（参考訳）: X_n=\sum_{i=1}^s t_i A_i^{\otimes n},$$ where $A_1,\ldots,A_s\in M_d(\mathbb C)$ and $t_1,\ldots,t_s\in\mathbb C$ を固定する。
X_n$の行列式やシャッテンノルムの直接計算は、$n$で指数関数的である。
単一のテンソル力に対して、これらの量は初等的であり、一般的な2項結合の行列式でさえ多項式的に多くのスカラー因子への還元を認めるが、3つ以上の項で類似の初等的な還元は得られない。
固定された$d$と$s$に対して、$\|X_n\|_p$,$0<p<\infty$,および多項式時間における行列式を$n$で計算する正確な表現論的方法を与える。
シュル-ワイル双対性は同時にブロック分解をもたらすが、一方ヤコビ-トルーディのグロタンディーク環の恒等性はシュル加群を対称パワーのテンソル積の符号付き組合せによって置き換える。
$d=3$の場合、各既約コントリビューションは、明示的に計算可能な2つの対称パワー項の違いに還元され、オープンソース実装に繋がる。
シングルスレッドのCPUベンチマークでは、$n=18$の真の3項の3-times3$トレースノルム問題を約47$秒で評価するが、未推論の行列を格納するだけで約2.4\times10^{18}$バイトが必要になる。
直接計算と縮小計算は、その共通範囲$n\leq9$全体で3.4\times10^{-15}$以下の相対誤差に一致する。
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