論文の概要: On the Triangle Inequality for the Jaccard Distance in Arbitrary Lattices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.18194v1
• Date: Tue, 18 Aug 2026 15:36:08 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-20 20:13:55.177296
• Title: On the Triangle Inequality for the Jaccard Distance in Arbitrary Lattices
• Title（参考訳）: 任意格子におけるジャカード距離の三角不等式について
• Abstract要約: 評価が厳密な正、単調、モジュラーであれば、ジャカード距離は任意の格子上の三角形の不等式を満たす。 相対的に補足された格子へ移動すると、付値が正、単調、超モジュラー、および$log$-部分モジュラーである限り、三角形の不等式は成り立つことを証明できる。 我々は、これらの構造的制約を緩和する実践的価値を、量子情報理論、形式概念分析、機械学習などの計算分野にマップする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper presents new theoretical results on generalizing the Jaccard distance for lattices and real valuations. We demonstrate that when the valuation is strictly positive, monotone, and modular, the Jaccard distance satisfies the triangle inequality on arbitrary lattices, effectively generalizing earlier results that depended heavily on distributivity. Moving to relatively complemented distributive lattices (which safely drop the requirement for the global bounds found in Boolean algebras), we prove the triangle inequality holds as long as the valuation is positive, monotone, supermodular, and $\log$-submodular. Additionally, we adapt the symmetric-difference Jaccard formulation for submodular valuations to sectionally complemented distributive lattices. Shifting to necessary conditions, we prove that supermodularity is a strict requirement for the standard generalized Jaccard distance to operate as a valid metric. Finally, we map the practical value of relaxing these structural constraints to computational fields like quantum information theory, formal concept analysis, and machine learning, closing with a brief look at open mathematical problems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では格子と実値に対するジャカード距離の一般化に関する新しい理論的結果を示す。 評価が厳密な正、単調、モジュラーであるとき、ジャカード距離は任意の格子上の三角形の不等式を満たすことを示し、分配性に大きく依存する以前の結果を効果的に一般化する。 比較的相補的な分配格子(ブール代数で見られる大域境界の要件を安全に下げる)に移行し、付値が正、単調、超モジュラー、および$\log$-劣モジュラーである限り、三角形の不等式は成り立つことを証明する。 さらに、部分モジュラー評価に対する対称差分ジャカードの定式化を、分割的に補足された分配格子に適応させる。 必要条件にシフトすると、超モジュラリティは標準一般化されたジャカード距離が有効な計量として機能する厳密な要件であることが証明される。 最後に、これらの構造的制約を量子情報理論、フォーマルな概念分析、機械学習といった計算分野に緩和する実践的価値を、オープンな数学的問題を簡潔に見つめながらマッピングする。

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