論文の概要: Equivariant Covariance Tensors: Guaranteed SPD Uncertainty for Tensor-Valued Geometric Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.24386v1
- Date: Tue, 25 Aug 2026 10:46:47 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-26 14:09:34.94401
- Title: Equivariant Covariance Tensors: Guaranteed SPD Uncertainty for Tensor-Valued Geometric Learning
- Title（参考訳）: 等変共分散テンソル:テンソル値幾何学学習におけるSPD不確かさの保証
- Abstract要約: 対象が6つのケルビン-マンデル座標を持ち、完全不確実性は6Times6$共分散行列で表される対称ランク2テンソル予測に焦点を当てる。
平均と共分散の両方が回転対称性を保った完全な予測分布をモデル化し、E(3)-同変UQの枠組みを導入する。
提案手法は, 競合性能を達成し, 有効リスクとOOD感度を有する物理的に一貫した対称性を保った不確実性推定値を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.837391281655422
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Tensor-valued prediction is fundamental to geometric deep learning, yet uncertainty quantification (UQ) for such outputs remains an open challenge. While E(3)-equivariant neural networks excel at point estimates, they lack rigorous confidence measures. We focus on symmetric rank-2 tensor prediction, where the target has six Kelvin--Mandel coordinates and full uncertainty is represented by a $6\times6$ covariance matrix. We introduce a framework for E(3)-equivariant UQ, modeling the full predictive distribution where both mean and covariance preserve rotational symmetry. Our approach decomposes the covariance into irreducible representations $\mathrm{Sym}^2(ρ_c) \cong 2\times(l=0) \oplus 2\times(l=2) \oplus 1\times(l=4)$. By mapping from the flat Lie algebra $\mathfrak{sym}(6)$ to the curved SPD manifold via matrix exponentiation, we strictly ensure positive-definite covariances while maintaining exact equivariance. Furthermore, we formulate a Log-Euclidean Equivariant Scoring Objective (LE-ESO)---a robust surrogate loss based on the Multivariate Laplace distribution---providing robustness to heavy-tailed errors and stable optimization. Validation on ModelNet40 inertia tensors and Materials Project dielectric tensors demonstrates that our method achieves competitive performance and provides physically consistent, symmetry-preserving uncertainty estimates with useful risk and OOD sensitivity.
- Abstract（参考訳）: テンソル値予測は幾何学的な深層学習の基本であるが、そのような出力に対する不確実な定量化(UQ)は未解決の課題である。
E(3)-同変ニューラルネットワークは点推定で優れているが、厳密な信頼度は欠如している。
対象が6つのケルビン-マンデル座標を持ち、完全不確実性は6\times6$共分散行列で表される対称ランク2テンソル予測に焦点を当てる。
平均と共分散の両方が回転対称性を保った完全な予測分布をモデル化し、E(3)-同変UQの枠組みを導入する。
我々のアプローチは共分散を既約表現 $\mathrm{Sym}^2(ρ_c) \cong 2\times(l=0) \oplus 2\times(l=2) \oplus 1\times(l=4)$ に分解する。
平坦リー代数 $\mathfrak{sym}(6)$ から行列指数による曲線 SPD 多様体への写像により、正定値共分散を厳密に保証し、正確な同値性を維持する。
さらに,多変量ラプラス分布に基づくロジカル・ユークリッド同変 Scoring Objective (LE-ESO) を定式化し,重み付き誤差に対するロジスティクスと安定な最適化を実現する。
モデルNet40慣性テンソルと材料プロジェクト誘電体テンソルの検証は,本手法が競争性能を達成し,有効リスクとOOD感度を備えた物理的に一貫した対称性保存不確実性評価を提供することを示す。
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