論文の概要: Grassmann--Plücker Parametrization of Convolutional Filter Subspaces: Regularity and Closed Embeddings
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03361v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 04:37:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-04 18:28:38.92639
- Title: Grassmann--Plücker Parametrization of Convolutional Filter Subspaces: Regularity and Closed Embeddings
- Title（参考訳）: 畳み込みフィルタ部分空間のグラスマン-プリュッカーパラメトリゼーション:正規性と閉埋め込み
- Abstract要約: フィルタ-畳み込み-演算対応は、単射線型写像 $mathcalC:mathcalKto H$ を与える。
この写像は$mathrmGr(q,mathcalK)$のフィルタ部分空間を$mathrmGr(q,H)$の演算子部分空間に送る。
射影パラメトリゼーション $:mathrmGr(q,mathcalK)tomathbbP(bigwedgeq H)
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We propose a geometric parametrization of the filters in a single convolutional layer: the parameter is no longer an ordered family of filter vectors, but a fixed-dimensional subspace of the filter space. For one-dimensional finite-stride convolution, the filter-to-convolution-operator correspondence gives an injective linear map $\mathcal{C}:\mathcal{K}\to H$. This map sends filter subspaces in $\mathrm{Gr}(q,\mathcal{K})$ to operator subspaces in $\mathrm{Gr}(q,H)$; composing it with the Plücker embedding yields a projective parametrization $Φ:\mathrm{Gr}(q,\mathcal{K})\to\mathbb{P}(\bigwedge^q H)$. Using $T_U\mathrm{Gr}(q,\mathcal{K})\cong\mathrm{Hom}(U,\mathcal{K}/U)$, we compute the differential of the induced Grassmannian map and show that the differential of $Φ$ is injective at every point. We then use the vanishing equations for Plücker coordinates and standard affine coordinates on a Grassmannian to prove that $\mathrm{Gr}(q,\mathcal{C}(\mathcal{K}))\hookrightarrow\mathrm{Gr}(q,H)$ is a closed embedding, and hence that $Φ$ is a closed embedding. Consequently, the parameter space is isomorphic to its projective image, the parametrization is finite and birational onto its image, every fiber is a singleton, and the resulting projective neural variety is smooth. For $k=4$ and $q=2$, we also use Singular to recover the image ideal and check its dimension, degree, chart rank, and smoothness. This computation illustrates, rather than replaces, the general proof. Finally, we discuss possible connections with filter redundancy and low-rank convolution, while distinguishing the proved geometric results from application proposals requiring numerical validation.
- Abstract（参考訳）: パラメータはもはやフィルタベクトルの順序列ではなく、フィルタ空間の固定次元部分空間である。
一次元有限ストライド畳み込みに対して、フィルタ-畳み込み-演算対応は射影線型写像 $\mathcal{C}:\mathcal{K}\to H$ を与える。
この写像は、$\mathrm{Gr}(q,\mathcal{K})$のフィルタ部分空間を$\mathrm{Gr}(q,H)$の作用素部分空間に送る。
T_U\mathrm{Gr}(q,\mathcal{K})\cong\mathrm{Hom}(U,\mathcal{K}/U)$ を用いることで、誘導されたグラスマン写像の微分を計算し、すべての点において$の微分が射影的であることを示す。
次に Plücker 座標とグラスマン多様体上の標準アフィン座標の消滅方程式を用いて、$\mathrm{Gr}(q,\mathcal{C}(\mathcal{K}))\hookrightarrow\mathrm{Gr}(q,H)$ が閉埋め込みであることを証明する。
したがって、パラメータ空間はその射影像に同型であり、パラメトリゼーションはその像上に有限で双有理であり、すべての繊維はシングルトンであり、結果として生じる射影ニューラル多様体は滑らかである。
$k=4$と$q=2$の場合、画像イデアルを復元し、その次元、度数、チャートランク、滑らかさをチェックするためにSingularを使う。
この計算は、一般的な証明を置き換えるのではなく、説明する。
最後に,フィルタの冗長性と低ランクの畳み込みとの関連性について論じるとともに,証明された幾何学的結果と数値検証を必要とするアプリケーションの提案を区別する。
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