論文の概要: Mutually unbiased bases: polynomial optimization and symmetry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.05698v5
• Date: Mon, 15 Apr 2024 14:01:09 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-18 03:19:56.217442
• Title: Mutually unbiased bases: polynomial optimization and symmetry
• Title（参考訳）: 相互非バイアス基底:多項式最適化と対称性
• Authors: Sander Gribling, Sven Polak,
• Abstract要約: mathbb Cd$ の正則基底の集合 $k$ は互いに非バイアスな $|langle e,frangle |2 = 1/d$ と呼ばれ、$e$ と $f$ は異なる基底の基底ベクトルである。 この対称性を(解析的に)利用して、半定値プログラムのサイズを縮小し、取り外し可能とする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.024113475677323
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A set of $k$ orthonormal bases of $\mathbb C^d$ is called mutually unbiased if $|\langle e,f\rangle |^2 = 1/d$ whenever $e$ and $f$ are basis vectors in distinct bases. A natural question is for which pairs $(d,k)$ there exist~$k$ mutually unbiased bases in dimension $d$. The (well-known) upper bound $k \leq d+1$ is attained when~$d$ is a power of a prime. For all other dimensions it is an open problem whether the bound can be attained. Navascu\'es, Pironio, and Ac\'in showed how to reformulate the existence question in terms of the existence of a certain $C^*$-algebra. This naturally leads to a noncommutative polynomial optimization problem and an associated hierarchy of semidefinite programs. The problem has a symmetry coming from the wreath product of $S_d$ and $S_k$. We exploit this symmetry (analytically) to reduce the size of the semidefinite programs making them (numerically) tractable. A key step is a novel explicit decomposition of the $S_d \wr S_k$-module $\mathbb C^{([d]\times [k])^t}$ into irreducible modules. We present numerical results for small $d,k$ and low levels of the hierarchy. In particular, we obtain sum-of-squares proofs for the (well-known) fact that there do not exist $d+2$ mutually unbiased bases in dimensions~$d=2,3,4,5,6,7,8$. Moreover, our numerical results indicate that a sum-of-squares refutation, in the above-mentioned framework, of the existence of more than $3$ MUBs in dimension $6$ requires polynomials of total degree at least~$12$.
• Abstract（参考訳）: k$ の正則基底の集合 $\mathbb C^d$ が互いに非バイアスであるとき、$|\langle e,f\rangle |^2 = 1/d$ は、任意の $e$ と $f$ は異なる基底の基底ベクトルである。 自然な疑問は、ある対 $(d,k)$ が、次元 $d$ において互いに偏りのない基底 ~$k$ が存在するかである。 良く知られた)上界 $k \leq d+1$ は、~$d$ が素数の力であるときに達成される。 他のすべての次元に対して、それは境界が到達できるかどうかという開問題である。 Navascu\'es, Pironio, Ac\'in は、ある$C^*$-algebraの存在という観点から、存在論を再構成する方法を示した。 これは自然に非可換多項式最適化問題と半定値プログラムの関連階層に繋がる。 この問題は、wreath積の$S_d$と$S_k$から生じる対称性を持つ。 この対称性を利用して(解析的に)半定値プログラムのサイズを減らし(数的に)トラクタブルにする。 鍵となるステップは、$S_d \wr S_k$-加群 $\mathbb C^{([d]\times [k])^t}$ を既約加群に分解することである。 階層の小さい$d,k$と低いレベルの数値結果を示す。 特に、(よく知られた)事実に対して、次元~$d=2,3,4,5,6,7,8$の互いに偏りのない基底が存在しないという2乗証明を得る。 さらに, 上述のフレームワークでは, 次元6ドルで3ドル以上のMUBが存在する場合, 総次数から12ドル程度の多項式が要求されることが示唆された。

関連論文リスト

• The Communication Complexity of Approximating Matrix Rank [50.6867896228563]
  この問題は通信複雑性のランダム化を$Omega(frac1kcdot n2log|mathbbF|)$とする。 アプリケーションとして、$k$パスを持つ任意のストリーミングアルゴリズムに対して、$Omega(frac1kcdot n2log|mathbbF|)$スペースローバウンドを得る。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-10-26T06:21:42Z)
• Some new infinite families of non-$p$-rational real quadratic fields [0.0]
  同時に、$p_j$-有理実体の無限族を構成するための単純な方法論を与え、$p_j$の任意の上を無理化する。 これらの技法の1つの特徴は、素体$K=mathbbQ(sqrtD)$を、極大アーベル群のガロア群のトーション群の$p$パワー巡回成分である$p$を超える非有理な外部素数の$K$が$paであるような体を与えるのに使用できることである。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-06-20T18:00:51Z)
• Dimension-free Remez Inequalities and norm designs [48.5897526636987]
  ドメインのクラスが$X$で、テストセットが$Y$で、Emphnormと呼ばれ、次元のないRemez型の見積もりを楽しむ。 ポリトーラスに$f$が拡張されたとき、$f$の上限は$mathcalO(log K)2d$以上増加しないことを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-10-11T22:46:09Z)
• Average-Case Complexity of Tensor Decomposition for Low-Degree Polynomials [93.59919600451487]
  多くの統計的推論タスクにおいて「統計計算ギャップ」が発生する。 1つの成分が他の成分よりもわずかに大きいランダムオーダー3分解モデルを考える。 テンソルエントリは$ll n3/2$のとき最大成分を正確に推定できるが、$rgg n3/2$のとき失敗する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-11-10T00:40:37Z)
• Mutually unbiased maximally entangled bases from difference matrices [0.0]
  最大絡み合った状態に基づいて、二部量子系における相互に偏りのない基底の構成を探索する。 任意の素パワー$q$に対して$mathbbCqotimes mathbbCq$において、最大絡み合う基底が$q-1$で互いに偏りのない基底が$q$と、一つの積基底が$mathbbCqotimes mathbbCq$で成立する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-10-04T10:45:22Z)
• The Approximate Degree of DNF and CNF Formulas [95.94432031144716]
  すべての$delta>0に対して、$はCNFと近似次数$Omega(n1-delta)の式を構築し、基本的には$nの自明な上限に一致する。 すべての$delta>0$に対して、これらのモデルは$Omega(n1-delta)$、$Omega(n/4kk2)1-delta$、$Omega(n/4kk2)1-delta$が必要です。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-09-04T10:01:39Z)
• Monogamy of entanglement between cones [68.8204255655161]
  モノガミーは量子論の特徴であるだけでなく、凸錐の一般対の極小テンソル積を特徴づけることを示した。 我々の証明は、アフィン同値まで単純化された生成物の新たな特徴を生かしている。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-06-23T16:23:59Z)
• Dual bounds for the positive definite functions approach to mutually unbiased bases [6.6673883720496425]
  長年の開問題は、$mathbbC6$に7つの相互に偏りのない基底 (MUB) が存在するかどうかを問うものである。 そのような等級の方法が少なくとも6つ存在することは証明できない。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-02-27T01:06:56Z)
• Spectral properties of sample covariance matrices arising from random matrices with independent non identically distributed columns [50.053491972003656]
  関数 $texttr(AR(z))$, for $R(z) = (frac1nXXT- zI_p)-1$ and $Ain mathcal M_p$ deterministic, have a standard deviation of order $O(|A|_* / sqrt n)$. ここでは、$|mathbb E[R(z)] - tilde R(z)|_F を示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-09-06T14:21:43Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。