論文の概要: The I3322 quantum value is attained spatially but not in finite dimension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.05555v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 15:48:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-12 13:23:32.956184
- Title: The I3322 quantum value is attained spatially but not in finite dimension
- Title（参考訳）: I3322量子値は空間的に達成されるが、有限次元では達成されない
- Abstract要約: S$ をコリンズ・ギシン正規化の $I_3322$ Bell 関数の量子超越(古典的境界 0; 2量子ビット最大値 1/4)とする。
i) 有限次元の量子戦略が$S$(任意の有限局所次元、純粋または混合状態、射影またはPOVM測定)に達することはないこと、PalとVertesi(2010)を証明すること。
次元複雑性も決定する:$S_d$で局所次元$le d$と$D()=mind:S-S_dの最適値
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Let $S$ be the quantum supremum of the $I_{3322}$ Bell functional in the Collins-Gisin normalization (classical bound 0; two-qubit maximum exactly 1/4). From a certified window $S\in(0.2508753845015185,0.250875388108398]$ (independently and more tightly enclosed by Mghirbi's prior certificates) and a certified equality of the tensor-product and commuting-operator suprema, we prove: (i) no finite-dimensional quantum strategy attains $S$ -- any finite local dimensions, pure or mixed states, projective or POVM measurements -- proving the conjecture of Pal and Vertesi (2010); (ii) $S$ is attained by a spatial strategy on $\ell^2(\mathbb{Z})\otimes\ell^2(\mathbb{Z})$, the infinite-dimensional attainment those authors asserted, on an independent route. So $C_q(3,3;2,2)$ is not closed -- the smallest two-outcome bipartite scenario by input count where nonclosure is known -- and $C_{qs}(3,3;2,2)\setminus C_q(3,3;2,2)$ is nonempty, settling the attainment question raised by Dykema, Paulsen and Prakash. Nonattainment is proved via a concave critical Bellman storage, exact rational endpoint-exclusion certificates, reflection-gluing and a convex-envelope theorem: finiteness forces an exact maximizer's two equality transports to coincide, capping its value at $1/4<S$. Attainment is proved by disintegrating a commuting maximizer's spectral measure over the orbits of its two response transports, yielding an $\ell^2$ Jacobi eigenvector with inherited normalizability. We also determine the dimension complexity: with $S_d$ the optimum at local dimension $\le d$ and $D(ε)=\min\{d:S-S_d\leε\}$, $D(ε)=Θ(\log(1/ε))$ -- the upper half constructively, with $D(ε)\le 23.9010650\log(1/ε)$; the lower half in a certificate chain in the accompanying repository. Cores of both halves are machine-checked in Lean 4.
- Abstract（参考訳）: S$ をコリンズ=ギジン正規化(古典的境界 0; 2量子ビットの最大値 1/4 )における$I_{3322}$ベル汎函数の量子上とする。
認証窓$S\in(0.2508753845015185,0.250875388108398]$(Mghirbiの以前の証明書によって独立的に、より密に囲まれている)とテンソル積と通勤操作上の上限の証明された等式から証明する。
(i)有限次元量子戦略が$S$(任意の有限局所次元、純粋または混合状態、射影的またはPOVM測定)に達することはなく、Pal と Vertesi (2010) の予想を証明する。
(ii)$S$ は $\ell^2(\mathbb{Z})\otimes\ell^2(\mathbb{Z})$ 上の空間戦略によって達成される。
したがって、$C_q(3,3;2,2)$ は閉でない -- 非閉包が知られている入力数による最小の 2-アウトカム二部シナリオ -- であり、$C_{qs}(3,3;2)\setminus C_q(3,3;2,2)$ は空で、Dykema, Paulsen, Prakash が提起した達成問題に決着をつける。
非到達性は、コンケーブ臨界ベルマンストレージ、正確な有理な終端排除証明、リフレクション-グル、凸-エンベロープ定理によって証明される: 有限性は、その値が1/4<S$と一致するように、正確な最大値の2つの同値輸送を強制する。
到達は、2つの応答輸送の軌道上の通勤最大値のスペクトル測度を解き、正規化性を持つ$\ell^2$ヤコビ固有ベクトルが与えられることで証明される。
S_d$ は局所次元 $\le d$ と $D(ε)=\min\{d:S-S_d\leε\}$, $D(ε)=\(\log(1/ε)$ -- 上半は構成的に$D(ε)\le 23.90650\log(1/ε)$ で、後続のリポジトリの証明書チェーンの下部半分はそれに対応する。
両方のハーフのコアはLean 4.0でマシンチェックされる。
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