Fugu-MT 論文翻訳(概要): A Nuclear-Norm Lower Bound for Dithered Scalar Quantization of Matrix Products

論文の概要: A Nuclear-Norm Lower Bound for Dithered Scalar Quantization of Matrix Products

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.05641v1
Date: Fri, 04 Sep 2026 18:22:01 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-09-10 19:44:08.10235
Title: A Nuclear-Norm Lower Bound for Dithered Scalar Quantization of Matrix Products
Title（参考訳）: マトリックス製品のディザスカラー量子化のための原子核下界
Abstract要約: 量子化行列乗算における誤差を最小化する問題を$C=AB$とする。 C$を変更せずに、ファクタ範囲やグリッドステップを変更する製品保存変換を最適化します。 2ドルの電力の場合、条件付き期待値は決定論的に$O((m+n))$正実演算でアダマール符号を選択する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.14680035572775532
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: We consider the problem of minimizing error in quantized matrix multiplication $C=AB$. Scalar quantization of the factors introduces rounding errors whose scale depends on the maximum absolute entries -- the ranges -- of their rows and columns. These ranges determine the quantization grid steps. To reduce the error, we optimize over product-preserving transformations that alter the factor ranges and grid steps without changing $C$. Specifically, we seek the smallest leading expected squared error over invertible inner changes of basis and orthogonal outer rotations. Under independent, zero-mean subtractive dither noise on an unbounded lattice, we prove the output-only bound $E_{\rm lead} \ge (c_A+c_B)/K \Vert AB\Vert_*^2$, where $K$ is the inner dimension, $c_A$ and $c_B$ are normalized noise variances, and $\Vert AB\Vert_*$ is the nuclear norm. The bound is tight: an SVD-aligned Hadamard construction attains the infimum whenever a Hadamard matrix of order $K$ exists, including every power of two, while an SVD-aligned DCT construction is within a factor of two for every $K$. Without outer rotations, Gram-matrix balancing minimizes factorization energy, and finite-set flattening achieves the bound within $C\log(K(m+n))$. For power-of-two $K$, conditional expectations deterministically select the Hadamard signs in $O((m+n)K^2)$ exact-real operations. Synthetic experiments verify both constructions and illustrate the tradeoff between regularization and conditioning. These results characterize the full-gauge optimum and quantify the cost of preserving row and column indices.
Abstract（参考訳）: 量子化行列乗算における誤差を最小化する問題を$C=AB$とする。因子のスカラー量子化は、行と列の最大絶対エントリ(範囲)に依存している丸め誤差を導入します。これらの範囲は量子化グリッドステップを決定する。誤差を低減するため、C$を変更することなく、係数範囲やグリッドステップを変化させる製品保存変換を最適化する。具体的には、基底と直交外転の可逆的内転に対する最小の2乗誤差を求める。非有界格子上のゼロ平均減算ディザノイズの下では、出力のみの有界な$E_{\rm lead} \ge (c_A+c_B)/K \Vert AB\Vert_*^2$, ここで、$K$は内次元、$c_A$と$c_B$は正規化ノイズ分散、$\Vert AB\Vert_*$は核ノルムである。 SVD に沿ったアダマール構成は、位数 $K$ のアダマール行列が存在するときは常に無限大となるが、SVD に沿った DCT の構成は K$ のときの 2 倍の範囲内である。外回転がなければ、グラム行列のバランスは分解エネルギーを最小化し、有限集合平坦化は$C\log(K(m+n))$内の有界を達成する。 2ドルの電力の場合、条件付き期待値は$O((m+n)K^2)$の真実演算でアダマール符号を決定的に選択する。合成実験は両方の構成を検証し、正規化と条件付けのトレードオフを示す。これらの結果は全ゲージ最適度を特徴付け、行と列のインデックスを保存するコストを定量化する。

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