論文の概要: Convex optimization on moment polytopes: Hadamard mirror descent and efficient algorithms for quantum functionals and other tensor parameters
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.06633v1
- Date: Sun, 06 Sep 2026 14:30:31 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-12 05:00:07.640065
- Title: Convex optimization on moment polytopes: Hadamard mirror descent and efficient algorithms for quantum functionals and other tensor parameters
- Title（参考訳）: モーメントポリトープ上の凸最適化:量子汎関数および他のテンソルパラメータに対するアダマールミラー降下と効率的なアルゴリズム
- Abstract要約: ポリトープ上の凸最適化は科学の多くの分野に現れる。
我々は,モーメントポリトープ上の凸関数を最適化する,アダマールミラー降下と呼ばれる一次フレームワークを開発した。
このフレームワークをポリトープの絡み合わせに適用すると、最初の効率的な一階法アルゴリズムが得られる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3438189447065458
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Convex optimization on polytopes arises in many areas of science. When the polytope is given implicitly or has exponentially many vertices and facets, standard methods may not apply or be ineffective. This is the case for moment polytopes, such as the entanglement polytopes, which play a foundational role in quantum information and algebraic complexity. They give rise to important entanglement measures and tensor parameters such as the quantum functionals, yet general effective methods for computing these quantities have been elusive. In this paper we address this challenge. We develop a first-order framework called Hadamard mirror descent to optimize suitable convex functions over moment polytopes and, more generally, the gradient sets of geodesically convex functions. It operates locally and does not rely on any explicit description of the polytope. Our framework extends mirror descent, an effective and widely used framework for convex optimization, from the Euclidean setting to Hadamard manifolds, and is motivated by a recent work by Hirai, which we interpret as a Hadamard version of mirror flow. Applying the framework to entanglement polytopes yields the first efficient first-order algorithms to compute the quantum functionals, the symmetric quantum functional, and the G-stable ranks, as well as a new direct algorithm for the non-commutative rank.
- Abstract（参考訳）: ポリトープ上の凸最適化は科学の多くの分野に現れる。
ポリトープが暗黙的に与えられるか、指数関数的に多くの頂点と面を持つ場合、標準的な方法は適用されないか、非有効である。
これは、量子情報や代数的複雑性において基礎的な役割を果たす絡み合いポリトープのようなモーメントポリトープのケースである。
量子汎関数のような重要な絡み合い測度やテンソルパラメータが生まれるが、これらの量を計算するための一般的な効果的な方法が解明されてきた。
本稿では,この問題に対処する。
我々は、モーメントポリトープ上の適切な凸関数を最適化するために、アダマールミラー降下と呼ばれる一階のフレームワークを開発し、より一般的には、測地的凸関数の勾配集合である。
局所的に機能し、ポリトープの明示的な記述に依存しない。
本フレームワークは, ユークリッド設定からアダマール多様体まで, 有効かつ広く使用されている凸最適化フレームワークであるミラー降下を拡張し, 鏡流のアダマール版として解釈した平井の最近の研究に動機づけられた。
このフレームワークをポリトープの絡み合わせに適用すると、量子汎関数、対称量子汎関数、G安定ランクを計算するための最初の効率的な一階アルゴリズムと、非可換ランクに対する新しい直接アルゴリズムが得られる。
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