論文の概要: The Rank the Task Demands: A Causal Rank Law for Matrix Memories Trained on Group Composition
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.12259v1
- Date: Thu, 10 Sep 2026 22:35:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-15 07:38:31.559118
- Title: The Rank the Task Demands: A Causal Rank Law for Matrix Memories Trained on Group Composition
- Title（参考訳）: タスク要求のランク:グループ構成によるマトリックス記憶の因果ランク法
- Abstract要約: 固定デコーダを用いた単一状態ボトルネック下で訓練した群分解試験場における因果的証拠を報告する。
コンパニオンペーパーは、$K$-pairのアソシエイト結合テストベッド上で、類似した採用パターンと因果的必要パターンを確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Matrix-valued memories make rank the natural budget of a learned representation: the number of independent directions a state spans bounds what it can bind, compose, and track. We report causal evidence, on a group-composition testbed trained under a hard single-state bottleneck with a fixed decoder that cannot launder rank, that gradient descent recruits precisely the rank the task's algebra demands. A companion paper [Larson, 2026a] establishes the analogous recruitment and causal necessity pattern on a $K$-pair associative-binding testbed, where exact recovery provably requires state rank at least $K$; this paper inherits that instrument and extends the rank law from a scalar capacity bound to a representation-theoretic one. We train toward chosen minimal faithful reference representations embedded in larger matrices. On group-composition state tracking over five finite groups spanning the solvable/non-solvable divide, the recruited rank equals the group's minimal faithful real representation dimension $d_{\min}$ (Spearman $ρ= 0.9747$, the design's tie-capped maximum), the dimension-matched solvable/non-solvable pair $S_4$/$A_5$ is statistically equivalent under a pre-registered test, and a pre-registered force-rank test separates a guaranteed similarity ceiling from empirical recovery at the target dimension: one rank below $d_{\min}$, cosine similarity is capped by the target's tied unit spectrum at $\sqrt{(d_{\min}{-}1)/d_{\min}} \le 0.894$, below the $0.9$ threshold in every group by construction, with observed cells at 86-95% (mean 91%) of that ceiling; at $d_{\min}$, not guaranteed a priori, recovery clears the pre-registered anchor-relative bar at four seeds per group in all five groups. Within this testbed, measured effective rank tracks representation dimension; the matched-dimension $S_4$/$A_5$ comparison establishes equivalence within the pre-registered tolerance.
- Abstract（参考訳）: 行列値記憶は、学習された表現の自然な予算をランク付けする: ある状態がまたがる独立方向の数は、結合し、構成し、追跡できるものの境界である。
因果的証拠として、一状態ボトルネック下で訓練された群分解テストベッドにおいて、勾配降下がタスクの代数的要求のランクを正確に採用する、固定デコーダでランク付けできないことを報告する。
共用紙(Larson,2026a)は、正確に回復するには少なくともK$の国家ランクを必要とする$K$のアソシエイト結合テストベッド上で、類似した採用と因果関係のパターンを確立し、その機器を継承し、表象理論に束縛されたスカラー容量からランク法を拡張させる。
我々は、より大きな行列に埋め込まれた最小限の忠実な参照表現に向けて訓練する。
可解/非可解な分割にまたがる5つの有限群の群構成状態追跡において、採用ランクはグループの最小忠実実表現次元$d_{\min}$ (Spearman $ρ= 0.9747$, the design's tie-capped maximum, the dimension-matched solvable/non-solvable pair $S_4$/$A_5$ is statistically equivalent under a pre-registered test, a pre-registered force-rank tests a guaranteeed similarity ceilings a empirical recovery at the target dimension: 1 rank below $d_{\min}$ cosine similarity is capped by the target's tied unit at $\sqrt({d_{\min}/d_{\min})$0.994$$$0.9995$, in the threshold at 986 and in the threshold at 986 and in the threshold at 9 percent at 9 percent in the early-registered cells, and a pre-pregistered force-rank tests of a secureed sharks in the three group has clear-registered radiation in the three group in the three group。
一致次元$S_4$/$A_5$比較は、事前登録された許容範囲内で等価性を確立する。
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