論文の概要: An exact Jordan signature in cumulative-count first-passage statistics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.20148v2
- Date: Fri, 18 Sep 2026 17:36:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-21 18:40:16.717923
- Title: An exact Jordan signature in cumulative-count first-passage statistics
- Title（参考訳）: 累積数ファーストパス統計における正確なヨルダン符号
- Abstract要約: 累積数ファーストパス問題では、$N$thカウントの$mathcal T_N$のラプラス変換は1カウントカーネルのパワーによって自然に表現される。
正確な3状態のマルコフ更新例を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: For cumulative-count first-passage problems, the Laplace transform of the time $\mathcal T_N$ of the $N$th count is naturally expressed through powers of a one-count kernel. A Jordan defect of that kernel does not, however, automatically survive the complete sum over terminal phases. We give an exact three-state Markov-renewal example in which it does. At $s=1$, the one-count kernel has spectrum $\{1/2,1/8,1/8\}$, with a one-dimensional eigenspace at $1/8$, and for initial phase $1$, \[ \mathbb E_1[e^{-\mathcal T_N}] =\frac56\,2^{-N}+\frac{N+1}{6}\,8^{-N}. \] Thus the ordinary, unconditioned cumulative-count transform contains the explicit Jordan contribution $N/(6\,8^N)$ at every threshold $N\ge1$. For the same fixed stochastic process, the two eigenvalues meeting at $1/8$ unfold as \[ λ_\pm(s)=\frac18\pm\frac1{96}\sqrt{s-1} -\frac{131}{2304}(s-1)+O((s-1)^{3/2}), \] and the characteristic discriminant has a simple zero at $s=1$. We place the example beside two structures that suppress such a marginal signature: fixed post-count reset, which gives scalar renewal, and a common total holding rate, for which terminal summation scalarizes the matrix power. The model also admits a monitored-Lindblad realization, but the mechanism is entirely classical. The result provides a small exact benchmark for how generalized spectral modes can remain visible in finite-threshold first-passage statistics.
- Abstract（参考訳）: 累積数ファーストパス問題の場合、$N$の時間である$\mathcal T_N$のラプラス変換は1カウントのカーネルのパワーによって自然に表される。
しかし、そのカーネルのジョルダン欠陥は、終位相上の完備和を自動で生存しない。
正確な3状態のマルコフ更新例を示す。
s=1$ の場合、ワンカウントカーネルはスペクトル $\{1/2,1/8/8\}$ を持ち、1次元固有空間は 1/8$ であり、初期位相 $1$ に対して \[ \mathbb E_1[e^{-\mathcal T_N}] =\frac56\,2^{-N}+\frac{N+1}{6}\,8^{-N} である。
したがって、通常の無条件累積数変換は、すべてのしきい値$N/(6\,8^N)$をすべてのしきい値$N\ge1$で明示的なジョルダン寄与を含む。
同じ固定確率過程において、2つの固有値は \[ λ_\pm(s)=\frac18\pm\frac1{96}\sqrt{s-1} -\frac{131}{2304}(s-1)+O((s-1)^{3/2}), \] として1/8$展開する。
このような限界符号を抑制する2つの構造の横に、固定されたポスト数リセット(スカラー更新)と、終端和が行列パワーをスカラー化する共通総保持率(英語版)を配置する。
このモデルは、モニターされたLindbladの実現も認めているが、メカニズムは完全に古典的である。
この結果は、有限閾値のファーストパス統計において、一般化されたスペクトルモードがどのように見えるかを示す小さな正確なベンチマークを提供する。
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