論文の概要: Optimization Geometry of Equivalent Brownian RKHS Representations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.21693v1
• Date: Fri, 18 Sep 2026 12:28:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-21 18:40:17.082022
• Title: Optimization Geometry of Equivalent Brownian RKHS Representations
• Title（参考訳）: 等価ブラウンRKHS表現の最適化幾何学
• Abstract要約: 有限パラメータ化は、同じ関数と固有のノルムを表現できるが、異なる最適化アルゴリズムを誘導する。 制御された有限ブラウン RKHS において、この効果について、ノイズ、インクリメント、スペクトル座標を用いて検討する。 我々の主な結果は、この固定モデルの最適化幾何学に関するものである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.372124879635104
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Equivalent finite parameterizations can represent the same functions and intrinsic norm yet induce different optimization algorithms. We study this effect in a controlled finite Brownian RKHS with nodal, increment, and spectral coordinates. Classical finite-element, RKHS-interpolation, Brownian-covariance, and mixed-boundary DCT identities make the shared hypothesis class, Brownian energy, approximation operator, and coordinate maps explicit. Our main results concern the optimization geometry of this fixed model. With mapped initialization, identical scalar steps, and identical minibatches, nodal and spectral GD/SGD have exactly the same mapped trajectories. Increment GD is an explicit Euler step for the constant Brownian/Sobolev metric, with factor $1/h$. For Brownian-regularized least squares, $κ_2(\mathbf H_{\mathrm{inc}})\le1+A/ρ$, independently of grid resolution $G$ for fixed $A$, $ρ>0$, and the stated normalization. Under the stated standard-Adam convention, the universal orthogonal equivariance group is exactly the signed permutations; the block DCT-VIII transform is not one. Float64 tests over five grids numerically verify the finite identities, mapped one-layer and recursive trajectories, conditioning predictions, and theorem-matched Adam separation. Thus coordinate effects are isolated without changing the represented functions, intrinsic regularizer, or approximation space.
• Abstract（参考訳）: 等価な有限パラメタライゼーションは、同じ関数と固有のノルムを表現できるが、異なる最適化アルゴリズムを誘導する。 制御された有限ブラウン RKHS において、この効果について、ノイズ、インクリメント、スペクトル座標を用いて検討する。 古典的有限要素、RKHS補間、ブラウン共分散、混合有界DCT等式は共有仮説クラス、ブラウンエネルギー、近似作用素、座標写像を明示する。 我々の主な結果は、この固定モデルの最適化幾何学に関するものである。 マップ化初期化、同一のスカラーステップ、同一のミニバッチ、ニューダルとスペクトルGD/SGDは、全く同じ地図化軌道を持つ。 インクリメント GD は定数ブラウン/ソボレフ計量に対する明示的なオイラーステップであり、係数は 1/h$ である。 ブラウン正則化された最小二乗に対して、$κ_2(\mathbf H_{\mathrm{inc}})\le1+A/ρ$ は、固定された$A$, $ρ>0$に対して$G$ と、記述された正規化とは独立である。 明記された標準・アダムの慣習の下では、普遍直交同値群はちょうど符号付き置換であり、ブロック DCT-VIII 変換は 1 ではない。 5つの格子上のFloat64試験は、有限の恒等性、写像された1層および再帰軌道、条件付き予測、定理に適合したアダム分離を数値的に検証する。 したがって、座標効果は、代表関数、固有正則化子、近似空間を変更することなく分離される。

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