論文の概要: Denoising growth complexity: Data geometry and certified schedules for diffusion sampling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.26285v1
• Date: Tue, 28 Jul 2026 21:26:16 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-30 21:06:25.485031
• Title: Denoising growth complexity: Data geometry and certified schedules for diffusion sampling
• Title（参考訳）: 成長複雑性の認知:拡散サンプリングのためのデータ幾何と認定スケジュール
• Abstract要約: 我々は、$mathsfDGC$インクリメントが、革新表現に適用されたオイラースキームのKL誤差に単純で明示的な境界をもたらすことを示す。 我々は、より単純なシングルブロック設定とより洗練された$K$ブロック設定の両方において、最適化されたステップサイズスケジュールに対するKLサンプリング保証を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.877292137182422
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Two central challenges in diffusion-based sampling are the theoretical one of understanding their remarkable effectiveness even in high-dimensional settings, and the practical one of designing algorithms with certified performance guarantees. We show that these questions are intimately connected via the \emph{denoising growth complexity} ($\mathsf{DGC}$). It is a geometric measure defined by a log-time weighted integral of the derivative of the denoising mean-squared error along the Gaussian heat flow. We show how the $\mathsf{DGC}$ increments lead to a simple and explicit bound on the KL error of an Euler scheme applied to the stochastic innovations representation. The bound is local along the path: each step is controlled by the corresponding $\mathsf{DGC}$ increment and its relative stepsize. This structure allows us to derive KL sampling guarantees for optimized stepsize schedules, both in a simpler single-block setting and in a more refined $K$-block setting. The $\mathsf{DGC}$ function has a natural martingale structure, which we exploit to develop fully data-certified versions of these algorithms. It also admits information-theoretic upper bounds in terms of covariance, rate distortion, metric entropy, and the Poincar'e constant, thereby recovering and sharpening a range of existing diffusion-sampling guarantees, as well as giving new results. In log heat-time, the fine partition limit is governed by an integral involving the square root of the $\mathsf{DGC}$ density, whereas a single-block schedule depends on its ordinary integral. This comparison precisely characterizes when adaptation to data geometry yields substantial computational gains, including logarithmic-to-constant separations for simple Gaussian mixture models.
• Abstract（参考訳）: 拡散に基づくサンプリングにおける2つの中心的な課題は、高次元設定においてもその顕著な有効性を理解する理論と、証明された性能保証を持つアルゴリズムを設計する実践的手法である。 これらの質問は、 \emph{denoising growth complexity} (\mathsf{DGC}$)を介して密接に関連していることを示す。 これはガウス熱流に沿った平均二乗誤差の微分の対数時間重み付き積分によって定義される幾何学的測度である。 我々は、$\mathsf{DGC}$インクリメントが、確率的革新表現に適用されたオイラースキームのKL誤差に単純で明示的な境界をもたらすことを示す。 各ステップは対応する$\mathsf{DGC}$インクリメントと相対的なステップサイズによって制御される。 この構造により、より単純なシングルブロック設定とより洗練された$K$ブロック設定の両方で、最適化されたステップサイズスケジュールに対するKLサンプリング保証を導出できる。 $\mathsf{DGC}$関数は自然なマーチンゲール構造を持ち、これらのアルゴリズムの完全なデータ認証バージョンを開発するために利用します。 また、共分散、速度歪み、計量エントロピー、ポアンカー定数といった情報理論上界を許容し、既存の拡散サンプリング保証の範囲を回復させ、さらに新たな結果を与える。 対数加熱時間では、微細分割極限は$\mathsf{DGC}$密度の平方根を含む積分によって支配されるが、一方単ブロックスケジュールは通常の積分に依存する。 この比較は、データ幾何学への適応が、単純なガウス混合モデルに対する対数対定数分離を含む、かなりの計算的な利得をもたらすときに、正確に特徴付けられる。

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