論文の概要: Eigenvalue-by-Eigenvalue Comparison of a Sierra--Rodríguez-Laguna-Type Spectrum with the Riemann Zeros

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.23353v1
• Date: Sun, 20 Sep 2026 04:41:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-22 20:29:00.785638
• Title: Eigenvalue-by-Eigenvalue Comparison of a Sierra--Rodríguez-Laguna-Type Spectrum with the Riemann Zeros
• Title（参考訳）: シエラ-ロドリゲス-ラグナ型スペクトルとリーマン零点の固有値と固有値の比較
• Abstract要約: 我々は、シエラ-ロドリゲス-ラグナ(SR) $H=xp$-型ハミルトニアン $widehat H_SRSR$ の自己随伴拡大について研究する。 K_1/2+iE/2(2)$の先頭次相は、大きな虚数次数のベッセル函数の厳密な公式と正確に一致することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: We study the self-adjoint extension of the Sierra--Rodríguez-Laguna (SR) $H=xp$-type Hamiltonian $\widehat H_{SR}$. Its discrete spectrum is fixed by the equation $\mathrm{Re}\!\left[e^{-iθ/2}K_{1/2+iE/2}(2π)\right]=0$. We solve this equation numerically for $θ=1.417π$ and obtain the first 606 eigenvalues $E_n$. We compare them, one by one, with the ordinates $γ_n$ of the first 606 nontrivial zeros of the Riemann zeta function. Using the steepest-descent (saddle-point) method for the modified Bessel function, together with the Riemann--von Mangoldt formula, we derive a closed-form prediction for $E_n-γ_n$ in terms of the Lambert-$W$ function. We show that our leading-order phase for $K_{1/2+iE/2}(2π)$ matches exactly a known, rigorous asymptotic formula for modified Bessel functions of large imaginary order. This rules out the Bessel function as the source of a numerical mismatch we found earlier. We then trace that mismatch to how the counting function $N(T)$ must be treated exactly at $T=γ_n$: the usual midpoint convention for the fluctuating term $S(T)$ shifts the effective quantum number by $1/2$. With this fix, $γ_n\sim g(n-11/8)$ instead of $g(n-7/8)$, and the new prediction for $E_n-γ_n$ matches, to within $0.03\%$, the value we measure directly from the first $10^5$ tabulated zeta zeros (A.~Odlyzko).
• Abstract（参考訳）: 我々は、シエラ-ロドリゲス-ラグナ(SR) $H=xp$-型ハミルトニアン $\widehat H_{SR}$ の自己随伴拡大について研究する。 その離散スペクトルは方程式 $\mathrm{Re}\! 左[e^{-iθ/2}K_{1/2+iE/2}(2π)\right]=0$。 この方程式を$θ=1.417π$で数値解し、最初の606固有値$E_n$を得る。 それらを、リーマンゼータ函数の最初の 606 個の非自明な零点の順序付き $γ_n$ と比較する。 修正ベッセル関数に対する最も急勾配(saddle-point)法とリーマン-ヴォン・マンゴルトの公式を用いて、ランベルト-$W$関数の項で$E_n-γ_n$の閉形式予測を導出する。 K_{1/2+iE/2}(2π)$ の先頭次相は、大きな虚数次数のベッセル函数に対する厳密な漸近公式と正確に一致することを示す。 これにより、ベッセル関数は、我々が以前に発見した数値的なミスマッチの源として除外される。 すると、そのミスマッチを、カウント関数 $N(T)$ が正確に$T=γ_n$ で扱われなければならない方法に辿る: 変動項 $S(T)$ の通常の中間点規則は、有効量子数を 1/2$ にシフトする。 この修正により、$γ_n\sim g(n-11/8)$は$g(n-7/8)$に代えて、$E_n-γ_n$が$0.03\%$に一致するという新しい予測は、最初の10^5$のグラフ化されたゼータ零点(A.~Odlyzko)から直接得られる。

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