論文の概要: Universal Approximation of Measure-to-Measure Operators by Pushforwards

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.35483v1
• Date: Mon, 28 Sep 2026 15:58:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-02 05:00:41.911426
• Title: Universal Approximation of Measure-to-Measure Operators by Pushforwards
• Title（参考訳）: プッシュフォワードによる測度・測度演算子の普遍近似
• Abstract要約: 有限$p$-次モーメントの出力を持つ任意の連続測度演算子は、連続的なプッシュフォワードにより、$p$-ヴァッサーシュタイン距離において一様近似できることを示す。 また、このフレームワークを継続的に変化するソース測度に拡張し、プッシュフォワードモデルのクラスに対して対応する結果を得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.271195591114806
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Many learning tasks map an input distribution to an output distribution. A natural way to model such an operator is to transform each input sample using a continuous function that may depend on the entire input distribution, and then take the distribution of the transformed samples. This defines a measure-dependent pushforward model and includes measure-theoretic formulations of transformers. We ask when such models can approximate arbitrary continuous operators between spaces of probability measures. We first show that universal approximation fails when atomic inputs are allowed: some continuous measure-to-measure operators that split or redistribute atomic mass cannot be approximated arbitrarily well by deterministic pushforward models. We then introduce the uniform level set condition, which requires a continuous measure-dependent scalarization whose shrinking level set neighborhoods carry uniformly vanishing mass over the input family. This condition is satisfied, in particular, by compact families of absolutely continuous measures. On every compact family satisfying this condition, we prove that any continuous measure-to-measure operator with outputs of finite $p$-th moment can be uniformly approximated, in the $p$-Wasserstein distance, by continuous measure-dependent pushforwards. Combining our theorem with existing approximation results for measure-dependent in-context maps yields universal approximation by measure-theoretic transformers. We also extend the framework to continuously-varying source measures, yielding a corresponding universality result for a class of pushforward models that are closely aligned with cross-attention architectures.
• Abstract（参考訳）: 多くの学習タスクは、入力分布を出力分布にマッピングする。 そのような演算子をモデル化する自然な方法は、入力分布全体に依存するかもしれない連続関数を用いて各入力サンプルを変換し、変換されたサンプルの分布を取ることである。 これは測度依存のプッシュフォワードモデルを定義し、変圧器の測度理論の定式化を含む。 そのようなモデルが確率測度の空間間の任意の連続作用素を近似できるかどうかを問う。 原子質量を分割または再分割する連続測度演算子は、決定論的プッシュフォワードモデルでは任意に近似できない。 次に、一様レベル設定条件を導入する。これは、連続的な測度依存スカラー化が必要であり、その縮小レベル設定近傍は、入力されたファミリーに対して一様に消滅する質量を運ぶ。 この条件は、特に絶対連続測度のコンパクト族によって満たされる。 この条件を満たすすべてのコンパクト族上で、有限$p$-次モーメントの出力を持つ任意の連続測度-測度作用素が、連続測度依存のプッシュフォワードにより、$p$-ワッサーシュタイン距離において一様近似できることを示す。 我々の定理と既存の測度依存型インコンテキスト写像の近似結果を組み合わせることで、測度理論変換器による普遍近似が得られる。 また、フレームワークを連続的に変化するソース測度にまで拡張し、クロスアテンションアーキテクチャと密に整合したプッシュフォワードモデルのクラスに対して、対応する普遍性結果を得る。

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