論文の概要: Improving Function Space Flow Matching with Kernel Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.38049v1
• Date: Tue, 29 Sep 2026 17:20:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-30 21:28:47.780725
• Title: Improving Function Space Flow Matching with Kernel Optimal Transport
• Title（参考訳）: カーネル最適輸送による関数空間フローマッチングの改善
• Abstract要約: 関数フローマッチングは無限次元空間上の分布を学習する。 本稿では,カーネルが引き起こすコストで,独立なペアリングをエントロピーOTで置き換えるカーネル機能フローマッチングを提案する。 経験的に、kFFMはFFM上の分布マッチング、拡散、逆数、有限次元OTベースラインを改善する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 35.46782004794816
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Generative models for function-valued data, such as time series and solutions of partial differential equations, must learn distributions over infinite-dimensional spaces. Functional Flow Matching (FFM) extends Flow Matching to this setting, learning a velocity field whose flow transports a Gaussian prior to the data distribution, but it inherits the independent endpoint pairing of standard Flow Matching: in each batch, prior and data samples are matched arbitrarily, so the conditional bridge must traverse both the shared global structure of the dataset and instance-specific residuals. In function space this is harder to fix than in finite dimensions, since optimal transport (OT) on function spaces is delicate to formulate and a flat Euclidean surrogate ignores the geometry that distinguishes function-valued data. We propose kernel Functional Flow Matching (kFFM), which replaces the independent pairing by entropic OT under a kernel-induced cost, the coupling underlying the Hilbert Sinkhorn Divergence (HSD), leaving the FFM neural-operator architecture unchanged. We prove that the kernel cost and the HSD objective are uniformly bounded and well-posed on Banach ambient spaces, derive an error decomposition against quadratic-cost OT on compact metric spaces that isolates an irreducible kernel-cost mismatch term, and prove a discretization-invariance bound whose rate is governed by Sobolev regularity. Empirically, kFFM improves distributional matching over FFM, diffusion, adversarial, and finite-dimensional OT baselines on time-series and PDE benchmarks, with significant paired-seed gains over FFM and improvements that persist under non-kernel and physics-based diagnostics, including a turbulent Navier-Stokes benchmark. Bounded kernel costs already outperform raw $L^2$ Sinkhorn, and function-space-aware kernels (signature, Sobolev RBF) give further gains on rough or path-valued data.
• Abstract（参考訳）: 関数値データの生成モデル、例えば時系列や偏微分方程式の解は無限次元空間上の分布を学習しなければならない。 関数フローマッチング(FFM)はこの設定にフローマッチングを拡張し、フローがデータ配信の前にガウスを輸送する速度場を学習するが、標準フローマッチングの独立エンドポイントペアリングを継承する。 関数空間において、関数空間上の最適輸送(OT)は定式化にデリケートであり、平坦ユークリッド代理は関数値データを区別する幾何学を無視しているため、これは有限次元よりも固定が難しい。 本稿では,カーネルの関数型フローマッチング (kFFM) を提案する。これは,独立なペアリングをエントロピーOTに置き換え,Hilbert Sinkhorn Divergence (HSD) の基盤となる結合を,FFMのニューラル演算アーキテクチャをそのまま残す。 我々は、カーネルコストとHSDの目的がバナッハ周囲空間上で一様有界かつ十分に設定されていることを証明し、既約のカーネルコストミスマッチ項を分離するコンパクト距離空間上の二次コストOTに対する誤差分解を導出し、ソボレフ正則性に支配される離散化-不変境界を証明した。 経験的に、kFFMは、FFM、拡散、逆数、有限次元のOTベースラインを時系列やPDEベンチマーク上で分散マッチングし、FFMよりも有意なペアシードゲインと、乱流ナビエ・ストークスベンチマークを含む非カーネルおよび物理ベースの診断の下で継続する改善を実現している。 境界カーネルは、既に生の$L^2$ Sinkhornを上回り、関数空間対応のカーネル (signature, Sobolev RBF) は、粗いデータやパス値のデータにさらなる利益をもたらす。

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