論文の概要: Exact $T$-counts of Toffoli layers from an isotropy bound
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.01024v1
- Date: Thu, 01 Oct 2026 04:11:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-03 01:19:23.890444
- Title: Exact $T$-counts of Toffoli layers from an isotropy bound
- Title（参考訳）: 等方性境界からトフォリ層を排他的に$T$カウントする
- Abstract要約: 並列トフォリ層の対角線コアである$m$ CCZゲートの層は、きれいなアンシラを持つすべてのアダマール自由回路において、正確に6m+1$T$ゲートを必要とすることを証明している。
これは$m$に対して最適であることを示す最初の証明である($m=1$の値が$7$は古典的であり、キャンベルとハワードは$m$の値が$13$である)。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The $T$-count is the dominant cost of fault-tolerant Clifford+$T$ computation. We prove that a layer of $m$ disjoint CCZ gates, the diagonal core of a parallel Toffoli layer, needs exactly $6m+1$ $T$ gates in every Hadamard-free Clifford+$T$ circuit with clean ancillas. Campbell and Howard gave the matching construction. To our knowledge this is the first proof that it is optimal for general $m$ (for $m=1$ the value $7$ is classical, and Campbell and Howard state the value $13$ at $m=2$). On every controlled unitary the same floor comes within one of their exact count, and it recovers their $4m+3$ for a fan-out of $m$ Toffolis from one control. The proof rests on an isotropy constraint: for a pure-cubic phase, the vectors recording which $T$ gates touch each qubit span a totally isotropic subspace. In general the constraint gives the isotropy floor $δ\ge2(n-d^{\ast})-r$ for every diagonal level-three gate, computed from the phase polynomial in polynomial time. The floor is never below stabilizer nullity $ν$, which equals $n-d^{\ast}$ on this class, and a separate parity argument raises it to $2ν+1$ on non-Clifford pure-cubic gates. On the output of the TODD optimizer for the $24$ benchmark circuits it completes, the floor certifies $193$ of its $311$ merged phase-polynomial blocks optimal for their Hadamard layering ($186$ to $193$ across five optimizer seeds), against $113$ for nullity. The floor also holds, under stated conditions, for circuits whose only internal Hadamards form unitarily uncomputed temporary AND blocks, while under adaptive feedforward only $t\geν$ is proved.
- Abstract（参考訳）: T$カウントは、フォールトトレラントなClifford+$T$計算の主要なコストである。
並列トッフォリ層の対角線コアである$m$不整合CCZゲートの層は、Adamard-free Clifford+$T$回路の全てのAdamard-free Clifford+$T$ゲートに正確に6m+1$T$ゲートを必要とすることを証明した。
キャンベルとハワードは一致した工事を行った。
私たちの知る限り、これは一般の$m$に対して最適であることを示す最初の証明である($m=1$の値は古典的であり、キャンベルとハワードは$m=2$の値を13$としている)。
コントロールされたすべてのユニタリでは、同じフロアが正確な数の1つに収まり、コントロール1つから$m$ Toffolisのファンアウトで4m+3ドルを回収する。
証明は等方性制約(英語版)( isotropy constraint)に依拠する: 純粋立方相の場合、$T$ゲートが各キュービットに触れるベクトルは、完全に等方部分空間にまたがる。
一般に、この制約は位相多項式から多項式時間で計算されるすべての対角レベル3ゲートに対して等方性フロア $δ\ge2(n-d^{\ast})-r$ を与える。
フロアは、このクラスにおいて$n-d^{\ast}$と等しい安定化子ヌルティ$ν$を決して下らないが、分離パリティ引数は、非クリフォード純粋立方体ゲート上で2ν+1$に上昇する。
ベンチマーク回路24ドルのTODDオプティマイザの出力では、アダマール層に最適な311ドルの位相ポリノミカルブロック(5つのオプティマイザシードで186ドルから193ドル)と13ドルのヌルティを認定している。
フロアはまた、記述された条件の下では、内部のアダマールのみが一意に計算されない一時的なANDブロックを形成し、適応フィードフォワードでのみ$t\geν$が証明される回路についても保持する。
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