論文の概要: Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.11923v2
- Date: Wed, 27 Oct 2021 16:30:04 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-10 19:23:56.229810
- Title: Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy
- Title（参考訳）: 対角的クリフォード階層の登頂
- Authors: Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Robert Calderbank
- Abstract要約: Clifford階層において,あるレベル$l$の論理対角ゲートを目標とする符号を合成する手法を提案する。
この方法は、結合、$Z$-stabilizersの削除、$X$-stabilizersの追加の3つの基本的な操作を組み合わせる。
コヒーレントノイズモデルでは、デコヒーレンスフリーな部分空間において、中間結果の計算と記憶を切り替える方法について述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6445605125467572
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Magic state distillation and the Shor factoring algorithm make essential use
of logical diagonal gates. We introduce a method of synthesizing CSS codes that
realize a target logical diagonal gate at some level $l$ in the Clifford
hierarchy. The method combines three basic operations: concatenation, removal
of $Z$-stabilizers, and addition of $X$-stabilizers. It explicitly tracks the
logical gate induced by a diagonal physical gate that preserves a CSS code. The
first step is concatenation, where the input is a CSS code and a physical
diagonal gate at level $l$ inducing a logical diagonal gate at the same level.
The output is a new code for which a physical diagonal gate at level $l+1$
induces the original logical gate. The next step is judicious removal of
$Z$-stabilizers to increase the level of the induced logical operator. We
identify three ways of climbing the logical Clifford hierarchy from level $l$
to level $l+1$, each built on a recursive relation on the Pauli coefficients of
the induced logical operators. Removal of $Z$-stabilizers may reduce distance,
and the purpose of the third basic operation, addition of $X$-stabilizers, is
to compensate for such losses. For the coherent noise model, we describe how to
switch between computation and storage of intermediate results in a
decoherence-free subspace by simply applying Pauli $X$ matrices. The approach
to logical gate synthesis taken in prior work focuses on the code states, and
results in sufficient conditions for a CSS code to be fixed by a transversal
$Z$-rotation. In contrast, we derive necessary and sufficient conditions by
analyzing the action of a transversal diagonal gate on the stabilizer group
that determines the code. The power of our approach is demonstrated by two
proofs of concept: the $[[2^{l+1}-2,2,2]]$ triorthogonal code family, and the
$[[2^m,\binom{m}{r},2^{\min\{r,m-r\}}]]$ quantum Reed-Muller code family.
- Abstract（参考訳）: マジック状態蒸留とショア分解アルゴリズムは論理対角ゲートを本質的に利用する。
クラフォード階層において,あるレベル$l$のターゲット論理対角ゲートを実現するCSS符号の合成法を提案する。
この方法は、結合、$Z$-stabilizersの削除、$X$-stabilizersの追加の3つの基本的な操作を組み合わせる。
cssコードを保存する対角ゲートによって引き起こされる論理ゲートを明示的に追跡する。
最初のステップは結合であり、入力はcssコードであり、同じレベルで論理対角ゲートを誘導するレベル$l$の物理的な対角ゲートである。
出力は、レベル$l+1$の物理的な対角ゲートが元の論理ゲートを誘導する新しいコードである。
次のステップは、引き起こされた論理演算子のレベルを上げるために$Z$-stabilizersを司法的に取り除くことである。
論理的クリフォード階層をレベル $l$ からレベル $l+1$ に登る3つの方法を特定し、それぞれ誘導論理演算子のポーリ係数の帰納的関係に基づいて構築する。
Z$-stabilizersの除去は距離を減らし、X$-stabilizersの追加による第3の基本的な操作の目的は、そのような損失を補うことである。
コヒーレントノイズモデルでは、pauli $x$行列を適用するだけで、中間結果の計算と格納をデコヒーレンスフリーな部分空間に切り替える方法について述べる。
前回の作業で行われた論理ゲート合成のアプローチは、コード状態に重点を置いており、結果としてCSSコードが$Z$-rotationで修正される十分な条件が導かれる。
対照的に、コードを決定する安定化子群に対する横断対角ゲートの作用を分析することにより、必要十分条件を導出する。
このアプローチのパワーは、2つの概念の証明によって示される: $[[2^{l+1}-2,2,2]]$ triorthogonal code family と $[2^m,\binom{m}{r},2^{\min\{r,m-r\}}]$ quantum Reed-Muller code family である。
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